Trennung der Veränderlichen

Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von und einer nur von abhängigen Funktion ist: y'=f(y)g(x). Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann I Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.

Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz

Lösung des Anfangswertproblems

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

$y'(x)=f(y(x))g(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}$

für stetige (reelle) Funktionen und . Falls $f(y_{0})=0$ , so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion $y(x):\equiv y_{0}$ gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.

Formulierung des Satzes

Es seien $x_{0},y_{0}\in {\mathbb {R}}$ mit $f(y_{0})\neq 0$ . Dann gilt:

Es gibt ein $y_{0}$ umfassendes offenes Intervall $U\subset \mathbb {R}$ mit $f(y)\neq 0$ für alle $y\in U$ . Dann ist die Abbildung $\Phi (y):=\int _{{y_{0}}}^{y}{\frac {1}{f(s)}}{{\rm {d}}}s$ auf wohldefiniert und streng monoton.
Weiter gibt es ein $x_{0}$ umfassendes offenes Intervall $V\subset \mathbb {R}$ , so dass die Abbildung $x\mapsto \int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s$ für alle $x\in V$ Werte in $\Phi (U)$ hat.
Seien und wie oben. Dann ist $u(x):=\Phi ^{{-1}}\left(\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s\right)$ die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
$y'(x)=f(y(x))g(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}$
auf .

Die Lösung des Anfangswertproblems ist in diesem Fall also die Lösung der Gleichung

$\int _{{y_{0}}}^{{u(x)}}{\frac {1}{f(s)}}\,{\mathrm d}s=\int _{{x_{0}}}^{x}g(s)\,{\mathrm d}s$ .

Man beachte, dass im Fall der konkreten Gestalt der getrennten Veränderlichen tatsächlich lokale Eindeutigkeit bei $f(y_{0})\neq 0$ vorliegt, obwohl und keine lokale Lipschitz-Bedingung zu erfüllen brauchen.

Beweis

Da $f(y_{0})\neq 0$ und stetig, gibt es ein $y_{0}$ umfassendes offenes Intervall , so dass $f(y)\neq 0$ für alle $y\in U$ . Insbesondere hat auf dasselbe Vorzeichen, so dass $\Phi (y):=\int _{{y_{0}}}^{y}{\frac {1}{f(s)}}{{\rm {d}}}s$ auf wohldefiniert und streng monoton ist. $\Phi (U)$ ist ein 0 umfassendes offenes Intervall. Also gibt es ein $x_{0}$ umfassendes offenes Intervall $V\subset {\mathbb {R}}$ , so dass $\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s\in \Phi (U)$ für alle $x\in V$ gilt.

$u(x):=\Phi ^{{-1}}\left(\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s\right)$ ist auf wohldefiniert, und wegen $\Phi '(y)={\frac {1}{f(y)}}\neq 0$ für alle $y\in U$ gilt

$u'(x)={\frac {g(x)}{\Phi '(\Phi ^{{-1}}(\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s))}}=f\left(\Phi ^{{-1}}\left(\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s\right)\right)g(x)=f(u(x))g(x)$

auf . Bei der Ableitung u'(x) wurden die Kettenregel und die Umkehrregel genutzt. Natürlich ist $u(x_{0})=y_{0}$ . Dies beweist die Existenz einer Lösung des angegebenen Anfangswertproblems.

Für die Eindeutigkeit nehme man an, dass ${\tilde {u}}$ irgendeine Lösung des Anfangswertproblems auf ist. Es wird nun gezeigt, dass $u={\tilde {u}}$ auf $\{x\in V\mid x>x_{0}\}$ gilt; die Eindeutigkeit links von $x_{0}$ geht analog.

Angenommen, die Eindeutigkeit rechts von $x_{0}$ wäre verletzt. Wegen der Stetigkeit von und ${\tilde {u}}$ gibt es ein $M\in V$ mit $M\geq x_{0}$ , so dass

$u(x)={\tilde {u}}(x)$ für alle $x\in [x_{0},M]$

wahr ist, für das jedoch die Aussage

$u(x)={\tilde {u}}(x)$ auf $[x_{0},M+\epsilon ]$

für jedes $\epsilon >0$ mit $M+\epsilon \in V$ falsch ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass es dennoch ein positives $\epsilon >0$ gibt, für das obige Aussage wahr ist, was den gewünschten Widerspruch impliziert.

Wegen ${\tilde {u}}(M)=u(M)\in U$ gibt es ein $\epsilon _{0}>0$ mit $M+\epsilon _{0}\in V$ , so dass ${\tilde {u}}(x)\in U$ für alle $x\in [M,M+\epsilon _{0})$ gilt. Insbesondere ist $\Phi ({\tilde {u}})$ auf $[x_{0},M+\epsilon _{0})$ wohldefiniert, und es gilt

$(\Phi ({\tilde {u}}))'(x)=\Phi '({\tilde {u}}(x)){\tilde {u}}'(x)={\frac {1}{f({\tilde {u}}(x))}}f({\tilde {u}}(x))g(x)=g(x)$ für alle $x\in [x_{0},M+\epsilon _{0})$ .

Dies impliziert $\Phi ({\tilde {u}}(x))=\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s$ , also ${\tilde {u}}(x)=\Phi ^{{-1}}\left(\int _{{x_{0}}}^{x}g(s){{\rm {d}}}s\right)$ für alle $x\in [x_{0},M+\epsilon _{0})$ , was mit der Definition von übereinstimmt. Dies liefert den Widerspruch zur Annahme der Nichteindeutigkeit.

Beispiel

Gesucht sei die Lösung des Anfangswertproblems

$y'=xy^{2}+x\ ,\ y(0)=1$ .

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

$y'=x(y^{2}+1)$ .

Setze also

$\Phi (y):=\int _{1}^{y}{\frac {1}{1+s^{2}}}{\rm {d}}s=\arctan y-\arctan 1=\arctan y-{\frac {\pi }{4}}$ .

Die Umkehrfunktion lautet

$\Phi ^{-1}(y)=\tan \left(y+{\frac {\pi }{4}}\right)$ .

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

$y(x)=\tan \left(\int _{0}^{x}s{\rm {d}}s+{\frac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$ .

Differentiale als anschauliche Rechenhilfe

Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d.h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale $\mathrm dx$ und $\mathrm dy$ eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann):

Schreibe die Ableitung konsequent als ${\tfrac {{\mathrm d}y}{{\mathrm d}x}}$ .
Bringe alle Terme, in denen ein vorkommt – einschließlich des $\mathrm dx$ – auf die rechte, und alle anderen – einschließlich des $\mathrm dy$ – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung.
Es sollte dann links im Zähler ein $\mathrm dy$ und rechts im Zähler ein $\mathrm dx$ stehen.
Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere.
Löse die Gleichung gegebenenfalls nach auf.
Ermittle die Integrationskonstante mithilfe der Anfangsbedingung.

Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen:

${\frac {{\mathrm d}y}{{\mathrm d}x}}=xy^{2}+x\;\Longrightarrow \,\int {\frac {{\mathrm d}y}{1+y^{2}}}=\int x\,{\mathrm d}x\;\Longrightarrow \,\arctan(y)={\frac {x^{2}}{2}}+C\;\Longrightarrow \,y=\tan \left({\frac {x^{2}}{2}}+C\right)$

mit $1=y(0)=\tan(C)$ , also $C=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$ .

Literatur

Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen.4. überarbeitete Auflage. Springer, 1990, ISBN 3-540-52017-1.
Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989,ISBN 3-89104-498-4.
Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 6. aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de