Separationsansatz

Der Separationsansatz oder Produktansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen.

Allgemeines

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form:

$u(t,x)=X(x)\cdot T(t)$

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen und in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

$\Phi (x,X,X',X'')=\lambda =\Psi (t,T,T',T'')$

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

${\frac {\partial ^{{2}}y(x,t)}{\partial t^{{2}}}}=c^{{2}}{\frac {\partial ^{{2}}y(x,t)}{\partial x^{{2}}}}$ .

Der Separationsansatz mit y(x,t)=f(x)g(t) :

${\frac {\partial ^{{2}}f(x)g(t)}{\partial t^{{2}}}}=c^{{2}}{\frac {\partial ^{{2}}f(x)g(t)}{\partial x^{{2}}}}$

führt auf

$f(x){\frac {d^{{2}}g(t)}{dt^{{2}}}}=c^{{2}}{\frac {d^{{2}}f(x)}{dx^{{2}}}}g(t)$

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch f(x)g(t) mit der Annahme $y(x,t)\neq 0$ im Inneren der Fläche.

${\frac {1}{g(t)}}{\frac {d^{{2}}g(t)}{dt^{{2}}}}=c^{{2}}{\frac {1}{f(x)}}{\frac {d^{{2}}f(x)}{dx^{{2}}}}$

Vereinfachung der Notation $f''(x)={\frac {d^{{2}}f(x)}{dx^{{2}}}}$ und $g''(t)={\frac {d^{{2}}g(t)}{dt^{{2}}}}$ ergibt

${\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{{2}}{\frac {f''(x)}{f(x)}}$

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

${\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{{2}}{\frac {f''(x)}{f(x)}}=\lambda$

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

$f''(x)={\frac {\lambda }{c^{{2}}}}f(x)$

$g''(t)=\lambda g(t)$

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter $\lambda$ und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in y(x,t) ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Literatur

Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).

Basierend auf einem Artikel in:

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