Geodätische Krümmung

Die geodätische Krümmung ist ein Begriff aus der klassischen Differentialgeometrie und bezeichnet bei einer Kurve auf einer Fläche denjenigen Anteil der Krümmung dieser Kurve, der in der Fläche gemessen werden kann. Anschaulich ist sie die Krümmung der in die Tangentialebene projizierten Kurve.

Die geodätische Krümmung ist eine von der Fläche abhängige Eigenschaft der Kurve. Sie gehört zur inneren Geometrie der Fläche, d.h., sie kann auch ohne Kenntnis der Krümmung der Fläche im Raum bestimmt werden. Kurven mit der geodätischen Krümmung 0 werden als Geodäten bezeichnet. Sie bilden den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten in der Fläche.

Definition

Im dreidimensionalen Raum (\mathbb {R} ^{3}) seien S eine Fläche mit dem Normaleneinheitsvektor {\vec {n}} und {\vec {r}}(s) eine nach der Bogenlänge s parametrisierte differenzierbare Kurve auf S. Dann heißt


  \kappa_g(s)
  = \frac{\mathrm{d}^2\vec r(s)}{\mathrm{d}s^2} \cdot 
  \left( \vec n(\vec r(s)) \times \frac{\mathrm{d}\vec r(s)}{\mathrm{d}s} \right)
  = \left[ \frac{\mathrm{d}^2\vec r(s)}{\mathrm{d}s^2} ,
  \vec n(\vec r(s)) , \frac{\mathrm{d}\vec r(s)}{\mathrm{d}s} \right]

die geodätische Krümmung von {\vec {r}}(s) bezüglich S.

Zusammenhang zur Normalkrümmung

Der (Raum-)Krümmungsvektor {\mathrm{d}^2\vec r(s)}/{\mathrm{d}s^2} kann nach den Ableitungsgleichungen von Burali-Forti in zwei Anteile aufgeteilt werden: einen Anteil, der tangential zur Fläche ist und einen Anteil, der orthogonal zur Fläche ist:


  \frac{\mathrm{d}^2\vec r(s)}{\mathrm{d}s^2}
  = \frac{\mathrm{d}\vec t(s)}{\mathrm{d}s}
  = \kappa_g(s) \cdot (\vec n(\vec r(s)) \times \vec t(s))
  \, + \, \kappa_n(s) \cdot \vec n(\vec r(s)),

wobei \vec t(s)={\mathrm{d}\vec r(s)}/{\mathrm{d}s} der Tangentenvektor der Kurve ist. Die Krümmung \kappa_n(s) wird als Normalkrümmung bezüglich der Fläche S bezeichnet. Sie ist die Krümmung jener Kurve im betrachteten Punkt P, die durch Schnitt von S mit einer zur Tangentialebene in P orthogonalen Ebene entsteht. Die Normalkrümmung ist daher abhängig von der Richtung der Kurve in P, welche durch die Ausrichtung der Schnittebene (Rotation um den Normalvektor der Fläche in P) bestimmt ist. Die Extremwerte der Normalkrümmung werden als Hauptkrümmungen, die dazugehörigen Kurvenrichtungen als Hauptkrümmungsrichtungen bezeichnet.

Für die Raumkrümmung einer Kurve gilt:


  \kappa(s)
  = \left| \frac{\mathrm{d}^2\vec r(s)}{\mathrm{d}s^2} \right|
  = \sqrt{(\kappa_n(s))^2+(\kappa_g(s))^2}.

Bezeichnet \psi den Winkel zwischen dem Normalenvektor {\vec {n}} der Fläche und dem Hauptnormalenvektor der Kurve, so gilt:

 \kappa_g = \pm \, \kappa\sin\psi .

Beispiel

Auf der Kugelfläche mit der Parameterdarstellung


\vec r(\vartheta, \varphi)
= R
\begin{pmatrix} 
\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \\
\sin \vartheta \cdot \sin \varphi \\
\cos \vartheta
\end{pmatrix}

beträgt die geodätische Krümmung der Längenkreise (\varphi=\mathrm{const.}) \kappa_g=0. Für die Breitenkreise (\vartheta=\mathrm{const.}) gilt: \kappa_g=1/(R \tan \vartheta).

Eigenschaften

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.10. 2019