Satz von Bruck-Ryser-Chowla

Der Satz von Bruck–Ryser–Chowla ist eine kombinatorische Aussage über mögliche Blockpläne, die notwendige Bedingungen für deren Existenz angibt.

Der Satz besagt: Wenn ein symmetrischer $t-(v,k,\lambda )$ -Blockplan existiert, dann gilt

falls v gerade ist, dann ist $k-\lambda$ eine Quadratzahl;
falls v ungerade ist, dann hat die diophantische Gleichung
$x^{2}=(k-\lambda )\cdot y^{2}+(-1)^{\frac {v-1}{2}}\cdot \lambda \cdot z^{2}$
eine nichtverschwindende Lösung $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}.$

Der Satz wurde 1949 für den Spezialfall der projektiven Ebenen von Richard Bruck und Herbert John Ryser bewiesen^[1] und 1950 mit Sarvadaman Chowla auf allgemeinere symmetrische Blockpläne verallgemeinert.

Endliche Projektive Ebenen

Im Spezialfall eines minimalen symmetrischen 2-Blockplans mit $\lambda =1$ – also für endliche projektive Ebenen^[2] – lässt sich der Satz so formulieren:

Wenn eine projektive Ebene der Ordnung existiert und $q\equiv 1{\pmod {4}}$ oder $q\equiv 2{\pmod {4}}$ gilt, dann ist die Summe von zwei Quadratzahlen (von denen auch eine verschwinden kann).

Fasst man eine endliche projektive Ebene der Ordnung als speziellen symmetrischen Blockplan auf, dann lauten die Parameter, die den Blockplan beschreiben

$v=q^{2}+q+1;\quad k=q+1;\lambda =1$ .

In dieser spezielleren Formulierung für projektive Ebenen wird der Satz auch als Satz von Bruck und Ryser zitiert.

Folgerungen und Beispiele

Aus dem Satz folgt dann zum Beispiel, dass es zu den Ordnungen 6 und 14 keine Ebene gibt, er schließt aber nicht die Existenz von Ebenen der Ordnungen $10=2\cdot 4+2=3^{2}+1^{2}$ und $12\equiv 0{\pmod {4}}$ aus. Es konnte gezeigt werden, dass keine projektive Ebene der Ordnung 10 existiert. Daraus folgt, dass die Bedingungen im Satz von Bruck-Ryser-Chowla keine hinreichenden Bedingung für die Existenz von Blockplänen sind.

Die Ordnungen $q=5=4+1;9=9+0;13=9+4$ erfüllen die notwendige Bedingung des Satzes für projektive Ebenen. Tatsächlich existieren Ebenen mit diesen Ordnungen, da sie zugleich Primzahlpotenzen sind.
Über Ebenen der Ordnung $q=27=3^{3}$ macht der Satz keine Aussage, da $27\equiv 3{\pmod {4}}$ ist. Da 27 eine Primzahlpotenz ist, existiert eine Ebene mit dieser Ordnung.

Ausgeschlossene Ordnungen

Die Folge der Zahlen, die aufgrund des Satzes von Bruck und Ryser nicht Ordnungen einer projektiven Ebene sein können, also die Zahlen $n\in \mathbb {N}$ mit $n\equiv 1,2{\pmod {4}}$ , die nicht Summe von zwei Quadratzahlen sind, bilden die Folge A046712 in OEIS.

Die kleinsten damit ausgeschlossenen Ordnungen sind: 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, 105, 110, 114, 118, 126, 129, 133, 134, 138, 141, 142, 150, 154, 158, 161, 165, 166, 174, 177, 182, 186, 189, 190, 198, 201, 206, 209, 210, 213, 214, 217, 222, 230, 237, 238, …

Literatur

Richard H. Bruck, Herbert John Ryser: The nonexistence of certain finite projective planes. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 1. Canadian Mathematical Society, 1. Februar 1949, S. 88–93, doi: 10.4153/CJM-1949-009-2
Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. 2. Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1983, ISBN 3-411-01632-9, S. 176–185

Anmerkungen

↑ Bruck und Ryser (1949)
↑ Das heißt verschiedene „Blöcke“, die in der Geometrie Geraden genannt werden, haben stets genau einen ( $\lambda =1$ ) gemeinsamen „Punkt“.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de