Alternativkörper
Der Begriff Alternativkörper ist eine Verallgemeinerung des algebraischen Körperbegriffs der Mathematik. Bei der Definition des Alternativkörpers verzichtet man auf das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für die Multiplikation. Stattdessen wird gefordert, dass die Multiplikation die Eigenschaft der Alternativität hat.
Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, jeder Alternativkörper ist zugleich ein Links- und ein Rechtsquasikörper. Endliche Alternativkörper sind stets Körper. (→ Siehe dazu auch: Moufangebene).
Eine wichtige Anwendung finden die Alternativkörper in der synthetischen
Geometrie. Ruth Moufang bewies 1933, dass jede Moufangebene isomorph zu einer projektiven
Koordinatenebene
über einem Alternativkörper
ist.
Definitionen
Eine Menge
mit zwei Verknüpfungen
und
ist ein Alternativkörper,
wenn gilt:
ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 0 bezeichnet wird;
ist eine Quasigruppe mit neutralem Element, das als 1 bezeichnet wird;
- Für die Verknüpfung
gilt die Alternativität:
und
,
- es gelten beide Distributivgesetze:
und
.
Kern eines Alternativkörpers
Jeder Alternativkörper ist ein Links- und ein Rechtsquasikörper. Analog zu
Quasikörpern kann man für jeden Alternativkörper
seinen Kern definieren:
.
Dieser Kern
ist durch die Definition eindeutig bestimmt und erfüllt mit den Verknüpfungen
aus dem Alternativkörper die Axiome eines Schiefkörpers. Der Alternativkörper
ist genau dann ein Schiefkörper, wenn er mit seinem Kern übereinstimmt. Beachte,
dass der Kern im Allgemeinen kein (im Sinn der Inklusion) maximaler Schiefkörper
im Alternativkörper sein muss.
Eigenschaften
Aus der Alternativität folgt weiterhin das Flexibilitätsgesetz
.
Die beiden Alternativitäten
und
und das Flexibilitätsgesetz
sind „zyklische“ Gesetze: Gelten zwei dieser Gesetze, dann folgt daraus das
dritte.
In einem Alternativkörper gelten ferner die Moufang-Identitäten für die Multiplikation:
und
.
Ruth Moufang zeigte 1934, dass drei beliebige
unterschiedliche Elemente a, b, c aus einem Alternativkörper ,
die der Relation
genügen, einen Schiefkörper
erzeugen. Dies ist eine Verschärfung eines Satzes von Emil Artin. Der Satz von Artin
besagt, dass zwei beliebige unterschiedliche Elemente einen Schiefkörper
erzeugen. Die so erzeugten Schiefkörper sind genau dann Teilmengen des Kerns von
,
wenn die erzeugenden Elemente in diesem Kern liegen.
Jeder Alternativkörper ist sowohl ein Links- als auch ein Rechtsmodul über jedem in seinem Kern enthaltenen Schiefkörper, also insbesondere über dem Kern selbst.
Beispiele
- Das bekannteste Beispiel eines „echten“ Alternativkörpers, der also kein
Schiefkörper ist, sind die (reellen) Oktonionen
. Der Kern dieses Alternativkörper ist der Körper der reellen Zahlen. Daneben enthält
unendlich viele zu den komplexen Zahlen isomorphe Körper.
- Jeder Körper und allgemeiner jeder Schiefkörper ist ein Beispiel für einen Alternativkörper.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.04. 2021