Schwarzsches Lemma

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt festlassen.

Aussage

Es bezeichne ${\mathbb {D}}:=\left\{z\in {\mathbb {C}}\,:\,|z|<1\right\}$ die offene Einheitskreisscheibe. Sei $f\colon {\mathbb {D}}\to {\mathbb {D}}$ eine holomorphe Funktion mit f(0)=0 . Dann gilt $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in {\mathbb {D}}$ und $|f'(0)|\leq 1$ . Falls in einem Punkt $z_{0}\in {\mathbb {D}},z_{0}\neq 0,$ zusätzlich die Gleichheit $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ besteht oder |f'(0)|=1 gilt, so ist eine Drehung, d.h. $f(z)=e^{{i\lambda }}\cdot z$ für ein geeignetes $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Beweis

Sei $f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}z^{n}$ die Taylorentwicklung von um den Punkt z = 0 . Wegen f(0)=0 ist a_0 = 0 , so dass die Funktion

$g(z):={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}},&{\text{falls }}z\not =0,\\f'(0),&{\text{sonst}}\end{cases}}$

auf ${\mathbb {D}}$ holomorph ist und die Taylorentwicklung $g(z)=\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{{n}}z^{{n-1}}$ um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion auf dem Kreis $K_{r}:=\{z\in {\mathbb {C}}\mid |z|\leq r\}$ , $r\in (0,1)$ , ihr Maximum auf dem Rand $\partial K_{r}=\{z\in {\mathbb {C}}\mid |z|=r\}$ an. Dort gilt aber:

$|g(z)|=\left|{\frac {f(z)}{z}}\right|={\frac {|f(z)|}{r}}\leq {\frac {1}{r}},$

so dass |g(z)| auf ganz $K_{r}$ durch ${\frac {1}{r}}$ beschränkt ist. Da 0<r<1 beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang $r\to 1$ schon $|g(z)|\leq 1$ und somit $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in {\mathbb {D}}$ . Weiterhin ist $|f'(0)|=|g(0)|\leq 1$ .

Falls zusätzlich ein $z_{0}\in {\mathbb {D}}$ mit $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ existiert oder |f'(0)|=1 gilt, dann gibt es ein $z_{0}\in {\mathbb {D}}$ mit $|g(z_{0})|=1$ . Mit dem Maximumprinzip folgt, dass konstant ist, also g(z)=c für ein mit |c|=1 . Es gilt also $f(z)=c\cdot z$ .

Anwendungen

Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: ${\mathrm {Aut}}({\mathbb {D}})=\left\{f(z)=e^{{i\lambda }}{\frac {z-z_{0}}{1-\overline {z_{0}}z}}\;,\;\lambda \in [0,2\pi ),\;z_{0}\in {\mathbb {D}}\right\}$ .

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ bestimmen und erhält ${\mathrm {Aut}}({\mathbb {H}})\cong PSL(2,{\mathbb {R}})$ .

Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen $f:{\mathbb {D}}\to {\mathbb {D}}$ gilt ${\frac {|f'(z)|}{1-|f(z)|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-|z|^{2}}}$ für alle $z\in {\mathbb {D}}$ .

Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion $f:{\mathbb {D}}\to {\mathbb {D}}$ mit f(0)=0 in der Potenzreihenentwicklung $f(z)=\sum _{{j=1}}^{\infty }a_{j}z^{j}$ die Bedingung $|a_{1}|\leq 1$ gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch $|a_{2}|\leq 2$ gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass $|a_{j}|\leq j\;\forall j\in {\mathbb {N}}\;$ . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Basierend auf einem Artikel in:

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