Satz von Łoś
Der Satz von Łoś, benannt nach dem polnischen Mathematiker Jerzy Łoś, ist ein Satz aus der Modelltheorie aus dem Jahre 1955, der einen alternativen Zugang zum Kompaktheitssatz ermöglicht. Die Existenz von Modellen gewisser mathematischer Strukturen wird auf die Existenz von Ultrafiltern zurückgeführt.
Begriffsbildungen
Boolesche Ausdehnung
Es sei
eine vorgegebene Signatur, das heißt eine Menge von nicht-logischen Symbolen,
wie zum Beispiel
zur Beschreibungen von Ringen
oder Körpern.
Weiter sei
eine nicht-leere Familie von
-Strukturen
und
deren kartesisches
Produkt, das wir im Folgenden abkürzend mit
bezeichnen wollen.
Sei weiter
eine Formel der Sprache
der Prädikatenlogik
erster Stufe, deren freie Variable unter den
zu finden sind. Für jedes Tupel
ist dann
eine Aussage, die auf
zutreffen kann oder nicht, das heißt, für die
oder nicht.
liest man als
ist Modell von
.
Durch diese nicht ganz saubere aber übliche Schreibweise
soll angedeutet werden, dass die Elemente
an die Stelle der freien Variablen mit dem gleichen Index treten und damit eine
Aussage im Modell
bilden.
Wir betrachten zu
nun ein Tupel
und interessieren uns für die Menge aller Indizes, für die
ein Modell von
ist. Wir definieren daher
und nennen diese Menge die Boolesche Ausdehnung von .
Reduzierte Produkte
Zusätzlich zur oben beschriebenen Situation betrachten wir nun einen Filter
auf der Indexmenge
und definieren
für .
Diese Menge ist nichts anderes als die Boolesche Ausdehnung
der Formel
angewandt auf das Zweiertupel
.
Die Eigenschaften eines Filters zeigen, dass dadurch eine Äquivalenzrelation
auf dem kartesischen Produkt der
definiert ist. Die Faktormenge
nach dieser Äquivalenzrelation heißt das reduzierte Produkt zum Filter
und wird mit
bezeichnet.
Durch die folgenden Festlegungen, deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, wird
das reduzierte Produkt ebenfalls zu einer -Struktur:
für jedes Konstantensymbol
.
für jedes n-stellige Funktionssymbol
.
genau dann, wenn
für jedes n-stellige Relationssymbol
.
Ist speziell
ein Ultrafilter, das heißt
maximal unter allen Filtern auf
,
so nennt man
das Ultraprodukt der
zum Ultrafilter
.
Formulierung des Satzes
Der Satz von Łoś stellt ein Kriterium für die Gültigkeit von Formeln in Ultraprodukten bereit:
Es sei
eine nicht-leere Familie von
-Strukturen
und
ein Ultrafilter auf
.
Dann gilt
genau dann, wenn
für alle Formeln
aus
und alle Tupel
.
Anwendungen
An zwei Beispielen sollen typische Anwendungen des Satzes von Łoś vorgestellt werden.
Kompaktheitssatz
Zum Kompaktheitssatz
ist zu zeigen, dass eine Menge
von Sätzen aus
bereits dann ein Modell hat, wenn für jede endliche Teilmenge von
ein Modell gefunden werden kann. Um den Satz von Łoś in Anwendung zu bringen,
betrachtet man als Indexmenge
die Menge alle endlichen Teilmengen von
und zu jedem
ein nach Voraussetzung existierendes Modell
von
.
Die Obermengen der endlichen Durchschnitte der Mengen
bilden einen Filter, der in einem Ultrafilter
enthalten ist. Aus dem Satz von Łoś folgt nun leicht, dass
ein Modell für
ist.
Dieser Beweis hat gegenüber Gödels Beweis den Vorteil, dass auf die Verwendung des syntaktischen Ableitbarkeitsbegriffs (siehe Prädikatenlogik erster Stufe) und den Vollständigkeitssatz verzichtet werden kann. Dieses Vorgehen wird im unten angegebenen Lehrbuch von Philipp Rothmaler konsequent ausgeführt.
Ringtheorie
- Es sei
ein Satz der Sprache
mit
, der in allen Ringen der Charakteristik 0 gelte. Dann gilt der Satz bereits in Ringen hinreichend hoher Charakteristik.
Nimmt man im Sinne eines Widerspruchsbeweises an, dass es Ringe ,
,
beliebig hoher Charakteristik
gibt, für die der Satz
nicht gilt, ohne Einschränkung
,
so betrachte man einen Ultrafilter
auf
,
der den Fréchet-Filter
umfasst. Sätze der Form
sind wegen der aufsteigenden Charakteristiken in fast allen
falsch und nach dem Satz von Łoś daher auch im Ultraprodukt
,
das heißt letzteres ist ein Ring der Charakteristik 0. Nach Voraussetzung gilt
daher
im Ultraprodukt und mit einer erneuten Anwendung des Satzes von Łoś ist die
Menge aller Indizes, für die der Satz in
richtig ist, im Ultrafilter enthalten, das heißt, er muss entgegen der Annahme
von einigen, sogar von unendlich vielen, der
erfüllt werden. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.02. 2021