Matrizenring
Der Matrizenring, Matrixring oder Ring der Matrizen ist in der Mathematik der Ring der quadratischen Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem weiteren, zugrunde liegenden Ring. Die additive und die multiplikative Verknüpfung im Matrizenring sind die Matrizenaddition und die Matrizenmultiplikation. Das neutrale Element im Matrizenring ist die Nullmatrix und das Einselement die Einheitsmatrix. Der Matrizenring ist Morita-äquivalent zu seinem zugrunde liegenden Ring und erbt daher viele seiner Eigenschaften. Allerdings ist der Matrizenring im Allgemeinen nicht kommutativ, selbst wenn der zugrunde liegende Ring kommutativ sein sollte.
Der Matrizenring besitzt in der Ringtheorie eine besondere Bedeutung, da jeder Endomorphismenring eines freien Moduls mit endlicher Basis isomorph zu einem Matrizenring ist. Viele Ringe lassen sich somit als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings.
Definition
Ist
ein unitärer
Ring, dann bildet die Menge
der quadratischen
Matrizen mit Einträgen aus diesem Ring
zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation als zweistelligen Verknüpfungen wiederum einen unitären Ring
,
der Ring der Matrizen über
oder kurz Matrizenring genannt wird. Die Addition und die Multiplikation im
Matrizenring
und im zugrunde liegenden Ring
werden dabei üblicherweise durch die gleichen Symbole dargestellt. Der
Matrizenring wird auch als
,
oder
notiert.
Beispiel
Ein einfaches Beispiel für einen Matrizenring ist die Menge der -Matrizen
mit der Matrizenaddition
und der Matrizenmultiplikation
.
Als Ergebnis erhält man jeweils wieder eine -Matrix.
Eigenschaften
Ringaxiome
Die Menge der quadratischen Matrizen erfüllt mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation die Ringaxiome:
- Sie bildet mit der Matrizenaddition eine kommutative
Gruppe, nachdem
eine kommutative Gruppe ist.
- Sie bildet mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe aufgrund der Assoziativität der Matrizenmultiplikation.
- Die Distributivgesetze gelten aufgrund der Distributivität der Matrizenmultiplikation mit der Matrizenaddition.
- Das neutrale Element bezüglich der Addition im Matrizenring ist die Nullmatrix
-
,
- wobei
das neutrale Element von
ist.
- Das Einselement im Matrizenring ist die Einheitsmatrix
-
,
- wobei
das Einselement von
ist. Um Trivialfälle auszuschließen, wird im Weiteren
angenommen.
Nullteiler
Die Nullmatrix ist im Matrizenring
ein absorbierendes
Element, das heißt für alle Matrizen
gilt
.
Der Matrizenring ist für
nicht nullteilerfrei, denn aus
folgt nicht notwendigerweise
oder
.
So gilt beispielsweise
.
Der Matrizenring ist demnach für
kein Integritätsring.
Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekürzt werden, denn aus
folgt nicht notwendigerweise
.
Nichtkommutativität
Der Matrizenring
ist für
nicht kommutativ,
selbst wenn
kommutativ sein sollte, denn es gilt beispielsweise
.
Der Matrizenring
ist genau dann kommutativ, wenn
ist und
kommutativ ist.
Das Zentrum des Matrizenrings, also die Menge der Elemente, die mit allen anderen kommutieren, ist
,
wobei
das Zentrum von
ist.
Isomorphien
Der Matrizenring
ist isomorph zum Ring der Endomorphismen
(Selbstabbildungen) des freien
Moduls
,
also
.
Die komponentenweise Addition von Abbildungen entspricht dabei der Matrizenaddition und die Hintereinanderausführung von Abbildungen der Matrizenmultiplikation. Der Nullmatrix entspricht die Nullabbildung und der Einsmatrix die identische Abbildung.
Ein unitärer Ring
ist genau dann isomorph zum Matrizenring
,
wenn es eine Menge von
Elementen
,
,
gibt, sodass
sowie
gelten und wenn der Zentralisator
dieser Elemente in
isomorph zu
ist.
Kenngrößen
Determinante
Ist
kommutativ, dann wird die Determinante
einer Matrix als normierte alternierende
Multilinearform
definiert. Die Determinante einer Matrix kann dann über die Leibniz-Formel
ermittelt werden, wobei die Summe über alle Permutationen
der symmetrischen
Gruppe
vom Grad
läuft und
das Vorzeichen
einer Permutation bezeichnet. Für die Determinante des Produkts zweier Matrizen
gilt der Determinantenproduktsatz
.
Rang
Der Spaltenrang einer Matrix wird als die maximale Zahl linear
unabhängiger Spaltenvektoren in dem freien
Modul
definiert. Entsprechend ist der Zeilenrang einer Matrix die maximale Zahl linear
unabhängiger Zeilenvektoren. Ist
kommutativ, dann stimmen Spaltenrang und Zeilenrang überein und man spricht von
dem Rang der Matrix, wobei
gilt. Für den Rang des Produkts zweier Matrizen gilt dann
.
Unterstrukturen
Unterringe
Die quadratischen Matrizen mit Einträgen aus einem Untering
von
bilden ebenfalls einen Unterring
im Matrizenring
.
Matrizenringe weisen jedoch weitere Unterringe auf. Beispielsweise werden
strukturelle Unterringe gebildet durch:
- die Menge der Diagonalmatrizen;
dieser Unterring ist kommutativ, falls
kommutativ ist
- die Menge der (strikt) oberen oder (strikt) unteren Dreiecksmatrizen
- die Menge der Blockdiagonalmatrizen oder Blockdreiecksmatrizen
- die Menge der Matrizen, bei denen bestimmte Spalten oder Zeilen nur Nulleinträge besitzen
Viele Ringe lassen sich als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses
Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung
einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings. Diese Unterringe werden gelegentlich
auch als Matrizenringe bezeichnet und der Matrizenring
dann zur besseren Unterscheidung voller Matrizenring genannt.
Einheiten
Die Einheitengruppe
im Matrizenring
ist die allgemeine
lineare Gruppe
bestehend aus den regulären
Matrizen. Für die Inverse
des Produkts zweier regulärer Matrizen
gilt
.
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des
freien Moduls
bilden. Ist
kommutativ, dann existiert zu jeder Matrix
eine Adjunkte
,
sodass
gilt. In diesem Fall ist die Invertierbarkeit einer Matrix äquivalent zur
Invertierbarkeit ihrer Determinante
in
.
Ideale
Die Ideale
im Matrizenring
sind gerade durch
gegeben, wobei
ein Ideal von
ist. Die Faktorringe des
Matrizenrings werden damit durch
charakterisiert.
Matrizenalgebra
Ist speziell
ein Körper
oder Schiefkörper,
dann ist der Matrizenring
einfach,
das heißt, er besitzt nur den Nullring
und den ganzen Ring
als triviale Ideale. Nach dem Satz von
Artin-Wedderburn ist jeder halbeinfache Ring
isomorph zu einem endlichen direkten
Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Mit der komponentenweisen Skalarmultiplikation
bildet der Matrizenring
eine assoziative
Algebra.
Siehe auch
- Matrizenraum, der Vektorraum der Matrizen über einem Körper
- Matrixdarstellung von Quaternionen
Literatur
- Michael Artin: Algebra. Springer, 1998, ISBN 3-7643-5938-2.
- Serge Lang: Algebra. 3. Auflage. Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 13.01. 2021