Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition

Es seien $(\Omega ,{\mathcal A},\mu )$ ein $\sigma$ -endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum.

Das Bochner-Integral $\int _{\Omega }f\,{{\rm {d}}}\mu$ einer Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

$s(x)=\sum _{{i=1}}^{m}\alpha _{i}\chi _{{X_{i}}}(x)$

mit Faktoren $\alpha _{i}\in B$ und messbaren Mengen $X_{i}\in {\mathcal A}$ , wobei $\chi _{{X_{i}}}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

$\int _{\Omega }s\,{{\rm {d}}}\mu :=\sum _{{i=1}}^{m}\alpha _{i}\mu (X_{i})$ ,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von ist.

Eine Funktion $f\colon \Omega \rightarrow B$ heißt $\mu$ -messbar, wenn es eine Folge $(s_{n})_{{n\in {\mathbb {N}}}}$ einfacher Funktionen gibt, so dass $\lim _{{n\to \infty }}s_{n}(x)=f(x)$ für $\mu$ -fast alle $x\in \Omega$ gilt.

Eine $\mu$ -messbare Funktion $f\colon \Omega \rightarrow B$ heißt Bochner-integrierbar, falls es eine Folge $(s_{n})_{{n\in {\mathbb {N}}}}$ einfacher Funktionen gibt, so dass

$\lim _{{n\to \infty }}s_{n}(x)=f(x)$ für $\mu$ -fast alle $x\in \Omega$ gilt und
zu jedem $\varepsilon >0$ ein $n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in {\mathbb {N}}$ existiert mit

$\int _{\Omega }\|s_{n}-s_{k}\|{{\rm {d}}}\mu <\varepsilon$ für alle $n,k\geq n_{0}$ >.

In diesem Fall ist

$\int _{\Omega }f\,{{\rm {d}}}\mu :=\lim _{{n\to \infty }}\int _{\Omega }s_{n}\,{{\rm {d}}}\mu$

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge $(s_{n})_{{n\in {\mathbb {N}}}}$ mit obigen Eigenschaften. Falls $M\in {\mathcal {A}}$ und $f\colon M\rightarrow B$ , so schreibt man

$\int _{M}f{{\rm {d}}}\mu :=\int _{\Omega }{\tilde {f}}{{\rm {d}}}\mu$ mit ${\tilde {f}}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{{\rm {falls}}}\ x\in M\ ,\\0\ ,&{{\rm {falls}}}\ x\in \Omega \setminus M,\\\end{array}}\right.$

sofern $\tilde{f}$ Bochner-integrierbar ist.

Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die $\mu$ -Messbarkeit:

Die Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist genau dann $\mu$ -messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Für jedes stetige lineare Funktional $\phi \in B'$ ist $\phi \circ f\colon \Omega \to {{\mathbb K}}$ $\mu$ -messbar.
Es gibt eine $\mu$ -Nullmenge $N\subset \Omega$ , so dass $f(\Omega \setminus N)\subset B$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die $\mu$ -Messbarkeit -wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die $\mu$ -Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z.B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine $\mu$ -messbare Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn $\|f\|:\Omega \to {\mathbb {R}}$ Lebesgue-integrierbar ist.

Eigenschaften

In diesem Abschnitt ist ein Banachraum und $f,g\colon \Omega \rightarrow B$ sind integrierbare Funktionen.

Linearität

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen $f,g\colon \Omega \rightarrow B$ und beliebige $\alpha ,\beta \in {\mathbb {K}}$ ist auch $\ \alpha f+\beta g\$ integrierbar, und es gilt:

$\int _{{\Omega }}\alpha f+\beta g\,{\mathrm {d}}\mu =\alpha \cdot \int _{{\Omega }}f\,{\mathrm {d}}\mu +\beta \cdot \int _{{\Omega }}g\,{\mathrm {d}}\mu$ .

Verkettung mit einem stetigen Operator

Es sei ein Banachraum und $T\in L(B,D)$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist $Tf\colon \Omega \to D$ eine integrierbare Funktion und es gilt

$T\left(\int _{\Omega }f(x){\mathrm {d}}\mu \right)=\int _{\Omega }T(f)(x){\mathrm {d}}\mu$ .

Radon–Nikodym-Eigenschaft

→ Hauptartikel: Radon-Nikodym-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Bochner-Lebesgue-Räume

Ist $(\Omega ,{\mathcal A},\mu )$ ein $\sigma$ -endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum, so nennt man den Raum $L^{1}(\Omega ,{\mathcal A},\mu ,B)$ der Bochner-integrierbaren Funktionen $\Omega \rightarrow B$ einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich $\mu$ -fast gleiche Funktionen identifiziert werden. Man erhält mit der Norm

$\|f\|_{1}:=\int _{\Omega }\|f(\omega )\|{\mathrm {d}}\mu (\omega )$

einen Banachraum. Dieser lässt sich wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

$L^{1}(\Omega ,{\mathcal A},\mu )\times B\rightarrow L^{1}(\Omega ,{\mathcal A},\mu ,B),\,(f,\alpha )\mapsto f(\cdot )\alpha$

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

$L^{1}(\Omega ,{\mathcal A},\mu ){\hat {\otimes }}_{{\pi }}B\cong L^{1}(\Omega ,{\mathcal A},\mu ,B)$

definiert, wobei ${\hat {\otimes }}_{{\pi }}$ das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Siehe auch

Birkhoff-Integral

Literatur

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de