Spezifischer Widerstand

Name

spezifischer Widerstand

$\rho$

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	Ω·mm²·m⁻¹	M·L³·I⁻²·T⁻³
Gauß (cgs)	s	T
esE (cgs)	s	T
emE (cgs)	abΩ·cm	L²·T⁻¹

Siehe auch: elektrische Leitfähigkeit

Der spezifische Widerstand (kurz für spezifischer elektrischer Widerstand oder auch Resistivität) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen $\rho$ (griech. rho). Er wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstands einer (homogenen) elektrischen Leitung oder einer Widerstands-Geometrie genutzt. Die abgeleitete SI-Einheit für diesen Zweck ist $[\rho] = \mathrm\tfrac{\Omega \cdot mm^2}{m}$ . Für wissenschaftliche Zwecke wird üblicherweise die Einheit $[\rho] =\Omega \mathrm m$ (dimensionengekürzt) genutzt.

Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.

Ursache und Temperaturabhängigkeit

Verantwortlich für den spezifischen elektrischen Widerstand in reinen Metallen sind zwei Anteile, die sich gemäß der Matthiessenschen Regel überlagern:

Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Gitterschwingungen (Phononen); dieser Anteil ist von der Temperatur abhängig, und
Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Verunreinigungen, Fehlstellen und Gitterbaufehlern; dieser Anteil ist nicht von der Temperatur, sondern von der Konzentration der Gitterfehler abhängig.

Der temperaturabhängige Anteil am spezifischen Widerstand ist bei allen Leitern in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear:

$\rho (T)=\rho (T_{0})\cdot (1+\alpha \cdot (T-T_{0}))$

wobei α der Temperaturkoeffizient, T die Temperatur und T₀ eine beliebige Temperatur, z.B. T₀ = 293,15 K = 20 °C, bei der der spezifische elektrische Widerstand ρ(T₀) bekannt ist (siehe Tabelle unten).

Je nach Vorzeichen des linearen Temperaturkoeffizienten unterscheidet man zwischen Kaltleitern (engl.: positive temperature coefficient of resistance, PTC) und Heißleitern (engl.: negative temperature coefficient of resistance, NTC). Die lineare Temperaturabhängigkeit gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall. Dieses kann bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein. Darüber hinaus muss man Korrekturen anbringen.

Der spezifische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, hier überwiegt der Anteil der Störstellen. Ausgenutzt wird dies beispielsweise bei Konstantan oder Manganin.

Spezifischer Widerstand als Tensor

Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand richtungsunabhängig (isotrop). Für den spezifischen Widerstand genügt dann eine einfache skalare Größe, also eine Zahl mit Einheit.

Anisotropie beim elektrischen Widerstand findet man bei Einkristallen (oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung) mit weniger als kubischer Symmetrie. Die meisten Metalle haben kubische Kristallstruktur und sind schon daher isotrop. Zusätzlich hat man oft eine viel-kristalline Form ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung (Textur). Ein Beispiel für anisotropen spezifischen Widerstand ist Graphit als Einkristall oder mit Vorzugsrichtung. Der spezifische Widerstand ist dann ein Tensor 2. Stufe, der die elektrische Feldstärke ${\vec E}$ mit der elektrischen Stromdichte ${\vec j}$ verknüpft.

${\vec E}=\rho \cdot {\vec j}$

Zusammenhang mit dem elektrischen Widerstand

Der elektrische Widerstand eines Leiters mit einer über seine Länge konstanten Querschnittsfläche (Schnitt senkrecht zur Längsachse eines Körpers) beträgt:

Widerstand mit Kontakten an beiden Enden

$R=\rho \cdot {\frac {l}{A}}$

wobei R der elektrische Widerstand, ρ der spezifische Widerstand, l die Länge und A die Querschnittsfläche des Leiters ist.

Folglich kann man $\rho$ aus der Messung des Widerstandes eines Leiterstückes bekannter Geometrie bestimmen:

$\rho ={R}\cdot {\frac {A}{l}}$

Die Querschnittsfläche A eines runden Leiters (zum Beispiel einem Draht) errechnet sich aus dem Durchmesser d zu:

$A=\pi \cdot {\frac {d^{2}}{4}}$

Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel für den elektrischen Widerstand R ist eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt A, das heißt, an jedem Punkt des Leiterquerschnitts ist die Stromdichte J gleich groß. Näherungsweise ist das gegeben, wenn die Länge des Leiters groß im Vergleich zu den Abmessungen seines Querschnitts ist und der Strom ein Gleichstrom oder niederfrequent ist. Bei hohen Frequenzen führen der Skin-Effekt und bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und Geometrien der Proximity-Effekt zu einer inhomogenen Stromdichteverteilung.

Weitere aus dem spezifischen Widerstand ableitbare Kenngrößen sind:

der Flächenwiderstand (Schichtwiderstand einer Widerstandsschicht); Einheit $\Omega$ oder $\Omega /\Box$
der Widerstand pro Länge eines Drahtes oder Kabels; Einheit $\Omega$ /m

Einteilung von Materialien

In der Praxis wird bei dünnen Leitern der spezifische Widerstand nur selten in $\Omega {\mathrm m}$ angegeben, sondern meistens in ${\mathrm {{\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}}$ . Die Einheit $\Omega {\mathrm m}$ wird bei Werkstoffproben mit großem Querschnitt verwendet. Es gilt:

${\mathrm {1\,{\frac {\Omega mm^{2}}{m}}=10^{{-6}}\Omega m}}$

Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:

Leiter: $\rho <100\,{\mathrm {{\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}}$
Halbleiter: $\rho =100{\text{ bis }}10^{{12}}\,{\mathrm {{\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}}$
Isolatoren oder Nichtleiter: $\rho >10^{{12}}\,{\mathrm {{\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}}$

Anzumerken ist, dass diese Einteilung keine festen Grenzen kennt und daher nur als Richtwert zu betrachten ist. Daher finden sich in der Literatur auch Angaben, die um bis zu zwei Größenordnungen abweichen können. Ein Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands, vor allem bei Halbleitern. Eine Einteilung anhand der Lage des Fermi-Niveaus ist hier sinnvoller.

Spezifischer Widerstand verschiedener Materialien

Spezifischer Widerstand ausgewählter Materialien bei 20 °C
Material	Spezifischer Widerstand in Ω · mm²/m	Linearer Widerstands- Temperaturkoeffizient in 1/K
Akkusäure	p5041.51,5·10⁴
Aluminium	p4982.652,65·10⁻²	3,9 ⋅ 10⁻³
Blei	p4992.082,08·10⁻¹	4,2 ⋅ 10⁻³
Blut	p5061.61,6·10⁶
Eisen	p4991.01,0·10⁻¹ bis 1,5 ⋅ 10⁻¹	5,6 ⋅ 10⁻³
Germanium	p5054.64,6·10⁵
Glas	p51611·10¹⁶ bis 1 ⋅ 10²¹
Glimmer	p51511·10¹⁵ bis 1 ⋅ 10¹⁸
Gold	p4982.2142,214·10⁻²	3,9 ⋅ 10⁻³
Graphit	p50088	−2 ⋅ 10⁻⁴
Kohlenstoff	p5013.53,5·10¹	−2 ⋅ 10⁻⁴
Kupfer (rein, „IACS“)	p4981.7211,721·10⁻²	3,9 ⋅ 10⁻³
Nickel	p4986.936,93·10⁻²	p4976.76,7·10⁻³
Platin	p4991.051,05·10⁻¹	3,8 ⋅ 10⁻³
Polypropylenfolie	p51111·10¹¹
Quarz-glas	p5237.57,5·10²³
Schwefel	p52111·10²¹
Schwefelsäure (10 %)	p5042.52,5·10⁴
Silber	p4981.5871,587·10⁻²	3,8 ⋅ 10⁻³
Titan	p49988·10⁻¹
Wasser (reinst)	p51211·10¹²
Wasser (typ. Leitungswasser)	p50722·10⁷
Wolfram	p4985.285,28·10⁻²	4,1 ⋅ 10⁻³
Zinn	p4991.091,09·10⁻¹	4,5 ⋅ 10⁻³

Beispiel

Es ist gegeben:

$l=2\,{\mathrm {m}}$
$A_{\text{Querschnitt}}=0{,}01\,\mathrm {mm} ^{2}$
$U=2\,{\mathrm {V}}$
$I=0{,}57\,{\mathrm {A}}$

Gesucht ist: $R_\text{spez} = \color {Orange}\rho$

Rechnung:

$R={ \color {Orange}\rho}\cdot\frac{l}{A} = \frac{U}{I}$
nach $\color {Orange}\rho$ umgestellt: ${ \color {Orange}\rho} = \frac{R\cdot A}{l} = \frac{U\cdot A}{I\cdot l}$
nun werden die Werte eingesetzt: $\rho ={\frac {3{,}5\,\Omega \cdot 0{,}01{\mathrm {mm}}^{2}}{2\,{\mathrm {m}}}}={\frac {0{,}035\,\Omega \cdot {\mathrm {mm}}^{2}}{2\,{\mathrm {m}}}}=0{,}0175\,{\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}$
Antwortsatz: Der spezifische Widerstand eines derartigen Drahtes beträgt $0{,}0175\,{\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de