Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls $\mathbf p$ eines Teilchens der Masse nichtlinear von der Geschwindigkeit $\mathbf v$ ab:

${\mathbf p}=\gamma m{\mathbf v}={\frac {m\,{\mathbf v}}{{\sqrt {1-{\frac {{\mathbf v}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dabei ist $\gamma$ der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten $(v\ll c)$ ist $\gamma$ gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

${\mathbf p}_{{{\text{Newton}}}}=m\,{\mathbf v}$

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft $\mathbf F$ Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

${\mathbf F}={\frac {{\mathrm d}{\mathbf p}}{{\mathrm d}t}}$

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit $\mathbf v$ abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

$S[{\mathbf X}]=\int \,{{\mathcal L}}{\bigl (}t,{\mathbf x}(t),{\frac {{\mathrm d}{\mathbf x}}{{\mathrm d}t}}(t){\bigr )}\,{\mathrm d}t$

mit der Lagrangefunktion

${{\mathcal L}}(t,{\mathbf x},{\mathbf v})=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\mathbf v}^{2}}{c^{2}}}}}.$

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort $\mathbf x$ abhängt, (das heißt, die Komponenten $x^{i}\,,i=1,2,3\,,$ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu $\mathbf x$ konjugierte Impuls mit Komponenten

$p_{i}={\frac {\partial {{\mathcal L}}}{\partial v^{i}}}={\frac {m\,v^{i}}{{\sqrt {1-{\mathbf v}^{2}/c^{2}}}}},$ also

${\mathbf p}={\frac {m\,{\mathbf v}}{{\sqrt {1-{\mathbf v}^{2}/c^{2}}}}}\,.$

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

$E=v^{i}{\frac {\partial {{\mathcal L}}}{\partial v^{i}}}-{{\mathcal L}}={\frac {m\,c^{2}}{{\sqrt {1-{\mathbf v}^{2}/c^{2}}}}}$

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

${\mathbf {v}}={\frac {{\mathbf p}}{{\sqrt {m^{2}+{\mathbf p}^{2}/c^{2}}}}},$

wie sie sich umgekehrt aus ${\mathbf p}({\mathbf v})$ ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

$H(t,{\mathbf {x}},{\mathbf {p}})={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\mathbf p}^{2}\,c^{2}}}.$

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de