Ereignishorizont

Metriken für schwarze Löcher
	statisch	rotierend $(J\neq 0)$
ungeladen	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen $(Q\neq 0)$	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik
Q: elektrische Ladung, J: Drehimpuls

Ein Ereignishorizont ist in der allgemeinen Relativitätstheorie eine Grenzfläche in der Raumzeit, für die gilt, dass Ereignisse jenseits dieser Grenzfläche prinzipiell nicht sichtbar für Beobachter sind, die sich diesseits der Grenzfläche befinden. Mit „Ereignissen“ sind Punkte in der Raumzeit gemeint, die durch Ort und Zeit festgelegt sind. Der Ereignishorizont bildet eine Grenze für Informationen und kausale Zusammenhänge, die sich aus der Struktur der Raumzeit und den Gesetzen der Physik, insbesondere in Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit, ergibt. Der Radius des Ereignishorizonts wird bei statischen Schwarzen Löchern Schwarzschild-Radius genannt.

Für jede Masse ab der Planckmasse gibt es einen Schwarzschild-Radius: Wenn ein Objekt auf ein Kugelvolumen mit einem kleineren Radius als seinem Schwarzschild-Radius komprimiert wird, so wird es ein Schwarzes Loch. Masseärmere Objekte haben eine zu große Ortsunschärfe und können deshalb nicht ausreichend komprimiert werden. Zum Beispiel liegt die Ortsunschärfe eines viel masseärmeren Protons bei etwa 10⁻¹⁵ m, während der Ereignishorizont bei 10⁻⁵⁴ m läge.

Die Form und Größe des Ereignishorizontes eines Schwarzen Lochs hängt laut dem Stand heutiger Modelle und Erkenntnisse davon ab, wie groß seine Masse ist, ob es rotiert und ob es geladen ist. Im Allgemeinen hat der Ereignishorizont eines Schwarzen Loches die Form eines Rotationsellipsoids; im Sonderfall eines nichtrotierenden, elektrisch ungeladenen Schwarzen Loches ist er kugelförmig.

Einführung

Äußere Schwarzschildlösung (Flammsches Paraboloid)

Das Gravitationsfeld eines Körpers besteht aus einer äußeren und einer inneren Lösung der Feldgleichungen, wobei die äußere Lösung das Gravitationsfeld außerhalb des Körpers und die innere Lösung das Feld im Inneren des Körpers beschreibt. Für den Fall einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel beschreibt die Schwarzschild-Metrik das innere und äußere Gravitationsfeld.

Bei einem Objekt, das selbst größer als der Schwarzschild-Radius ist, gibt es keinen Ereignishorizont, da der innere Teil nicht zur äußeren Schwarzschild-Lösung gehört; die innere Lösung enthält keine Singularitäten. Erst wenn ein Objekt kleiner als sein Schwarzschild-Radius wird, entsteht eine Singularität und es tritt ein Ereignishorizont in der Raumzeit auf. Im Falle von nicht rotierenden und elektrisch nicht geladenen Schwarzen Löchern ist der Ereignishorizont die Oberfläche einer Kugel um die zentrale Singularität. Der Radius dieser Kugel ist der Schwarzschild-Radius.

Die skalare Krümmung der Raumzeit am Ereignishorizont der Schwarzschild-Metrik ist null, denn die Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen, was impliziert, dass weder die skalare Krümmung noch der Ricci-Tensor von null verschieden sein können. Ein Krümmungsmaß, das am Ereignishorizont nicht verschwindet, ist der Kretschmann-Skalar

$R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12{r_{\mathrm {S} }}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}},$

der am Ereignishorizont den Wert ${12}/{r_{\mathrm {S} }^{4}}$ annimmt, wobei die Lichtgeschwindigkeit, die Gravitationskonstante, die Masse und $r_{\mathrm {S} }$ der Schwarzschild-Radius des Schwarzen Loches sind.

Im Fernfeld gilt das klassische Gravitationsgesetz weiterhin als Näherung. Diese Näherung führt jedoch zu immer größeren Abweichungen, je mehr man sich dem Ereignishorizont annähert. In unmittelbarer Nähe des Ereignishorizonts muss dann schließlich die allgemeine Relativitätstheorie benutzt werden.

Geschichte

John Michell war der Erste, der sich mit der Frage auseinandersetzte, wie groß die Anziehungskraft eines Himmelskörpers sein muss, damit Licht nicht mehr von seiner Oberfläche entweichen kann. Unter Benutzung der Newtonschen Gravitationstheorie und der Korpuskeltheorie fand er 1783 eine Beziehung zwischen dem Radius und der Masse eines Himmelskörpers, bei dem dieser Effekt auftritt. Diesen Radius hat Karl Schwarzschild 1916 in einer allgemeinrelativistischen Rechnung wiedergefunden, daher wurde er ihm zu Ehren als Schwarzschild-Radius bezeichnet.

Ereignishorizont in der Schwarzschild-Metrik

Bei nichtrotierenden Schwarzen Löchern ist der Ereignishorizont in der Schwarzschild-Metrik mit dem Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {S} }$ identisch. Der Schwarzschild-Radius eines Körpers der Masse ist gegeben durch:

$r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}=M\cdot 1{,}485\cdot 10^{-27}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {kg} }}$

Das Schwarzschild-Volumen beträgt demnach

$V_{\mathrm {S} }={\frac {4}{3}}\pi r_{\mathrm {S} }^{3}={\frac {4}{3}}\pi {\frac {8G^{3}M^{3}}{c^{6}}},$

womit sich eine kritische Dichte durch

$\rho _{c}={\frac {M}{V}}={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi {\frac {8G^{3}M^{3}}{c^{6}}}}}={\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}$

definieren lässt. Sobald ein Körper diese Dichte überschreitet, entsteht ein Schwarzes Loch. Für die Masse der Sonne beträgt der Schwarzschild-Radius $2952\;{\text{m}}$ , für die Erde $9\;{\text{mm}}$ und für den Mount Everest $1\;{\text{nm}}$ .

Zu beachten ist ferner, dass der Radius des Ereignishorizonts in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht den Abstand vom Mittelpunkt angibt, sondern über die Oberfläche von Kugeln definiert ist. Ein kugelförmiger Ereignishorizont mit Radius $r_{\mathrm {H} }$ hat dieselbe Fläche wie eine Sphäre gleichen Radius im euklidischen Raum, nämlich $A=4\pi r_{\mathrm {H} }^{2}$ . Aufgrund der Raumzeitkrümmung sind die radialen Abstände im Gravitationsfeld vergrößert (das heißt, der Abstand zweier Kugelschalen mit – über die Kugelfläche definierten – Radialkoordinaten $r_{1}$ und $r_{2}$ ist größer als die Differenz dieser Radien).

Bedeutung und Eigenschaften des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs

Gravitative Rotverschiebung

Die Frequenz eines Photons, das aus einem Gravitationsfeld zu einem entfernten Beobachter gelangt, wird zum roten (energiearmen) Teil des Lichtspektrums verschoben, da dem Photon die entsprechende potentielle Energie verloren geht. Die Rotverschiebung ist umso größer, je näher sich die Lichtquelle am Schwarzen Loch befindet. Am Ereignishorizont wird die Rotverschiebung unendlich groß.

Einfallzeit für einen außenstehenden Beobachter

Für einen außenstehenden Beobachter, der aus sicherer Entfernung zusieht, wie ein Teilchen auf ein Schwarzes Loch zufällt, hat es den Anschein, als würde es sich asymptotisch dem Ereignishorizont annähern. Das bedeutet, ein außenstehender Beobachter sieht niemals, wie es den Ereignishorizont erreicht, da aus seiner Sicht dazu unendlich viel Zeit benötigt wird. Das gilt nicht für makroskopische Objekte, die selbst die Raumzeit verformen. Insbesondere lassen sich Supernovae beobachten.

Einfallzeit für einen frei fallenden Beobachter

Für einen Beobachter, der sich im freien Fall auf das Schwarze Loch zubewegt, ist dies freilich anders. Dieser Beobachter erreicht den Ereignishorizont in endlicher Zeit. Der scheinbare Widerspruch zu dem vorherigen Ergebnis rührt daher, dass beide Betrachtungen in verschiedenen Bezugssystemen durchgeführt werden. Ein Objekt, das den Ereignishorizont erreicht hat, fällt (vom Objekt selbst aus betrachtet) in endlicher Zeit in die zentrale Singularität.

Geometrische Eigenschaften

Der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs stellt eine sogenannte lichtartige Fläche dar. Geometrisch gesprochen handelt es sich um die Menge aller radial auslaufenden Lichtstrahlen, die dem Schwarzen Loch gerade nicht entkommen können, und die gerade nicht ins Schwarze Loch fallen, d.h., die bei konstanter Radialkoordinate eingefroren zu sein scheinen. Demzufolge ist es für einen massebehafteten Körper unmöglich am Ereignishorizont zu verweilen. Er muss den Ereignishorizont in Richtung einer kleiner werdenden Radialkoordinate verlassen.

Es sei noch angemerkt, dass der Ereignishorizont keine gegenständliche Grenze ist; ein frei fallender Beobachter könnte daher nicht direkt feststellen, wann er den Ereignishorizont passiert.

Drehimpuls und elektrische Ladung

Rotierende Schwarze Löcher

Für rotierende Schwarze Löcher ergibt sich aus der Kerr-Metrik ein Ereignishorizont, der jedoch im Gegensatz zum Ereignishorizont der Schwarzschildmetrik eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzt. Die Abmessungen dieses Rotationsellipsoids hängen dabei vom Drehimpuls und von der Masse des Schwarzen Loches ab.

Der Ereignishorizont $r_{\mathrm {H} }$ eines rotierenden Schwarzen Lochs ist in Boyer-Lindquist-Koordinaten durch

$r_{\mathrm {H} }:={\frac {GM}{c^{2}}}+{\sqrt {\left({\frac {GM}{c^{2}}}\right)^{2}-a^{2}}}$

gegeben mit $a:={\frac {J}{Mc}}$ und dem Drehimpuls .

Die Lösung für $r_{\mathrm {H} }$ hängt also für ein Schwarzes Loch mit gegebener Masse nur von seiner Drehung ab. Dabei lassen sich zwei Spezialfälle erkennen: Für $a\to 0$ , d.h. für ein nicht-rotierendes Schwarzes Loch, ist

$r_{\mathrm {H} }=2{\frac {GM}{c^{2}}}=r_{\mathrm {S} }$

und $r_{\mathrm {H} }$ somit identisch mit dem Radius aus der Schwarzschild-Metrik.
Für $a\to GM/c^{2}$ , d.h. für ein maximal-rotierendes Schwarzes Loch, ist

$r_{\mathrm {H} }={\frac {GM}{c^{2}}}$

und wird auch Gravitationsradius $r_{\mathrm {G} }$ genannt. In kartesischen Hintergrundkoordinaten beträgt der Radius bei maximaler Rotation hingegen ${\bar {r}}={\sqrt {2}}\ r_{\rm {s}}$ , während der physikalische axiale Gyrationsradius ${\bar {R}}_{\phi }=U_{\phi }/(2\pi )={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}=r_{\rm {s}}$ beträgt. Der poloidiale Gyrationsradius ${\bar {R}}_{\theta }={\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}=\surd (a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2})$ hingegen ist nicht nur von der Radialkoordinate sondern auch vom Polwinkel abhängig. Die Oberfläche des Ereignishorizonts bei maximaler Rotation ist damit

$A_{\rm {H}}=\int _{0}^{\pi }2\pi \ {\bar {R}}_{\phi }\ {\bar {R}}_{\theta }\,{\rm {d}}\theta =4\pi \ (r^{2}+a^{2})=8\pi \ G^{2}M^{2}/c^{4}$

und nicht wie man naiverweise annehmen könnte $4\pi \ r_{\text{H}}^{2}$ .

Der Gravitationsradius wird oft auch als Längeneinheit bei der Beschreibung der Umgebung eines Schwarzen Lochs benutzt.

Um den Ereignishorizont des rotierenden Schwarzen Loches befindet sich zusätzlich die Ergosphäre, in der die Raumzeit in zunehmendem Maße an der Rotation des Schwarzen Loches teilnimmt. Materie, Licht, Magnetfelder etc. müssen innerhalb der Ergosphäre grundsätzlich mit dem Schwarzen Loch mitrotieren. Da Ladungen in der Ergosphäre ein starkes Magnetfeld induzieren, können die beobachteten Jets und deren Synchrotronstrahlung bei aktiven Galaxienkernen erklärt werden.

Die Singularität im Zentrum von rotierenden Schwarzen Löchern ist ringförmig.

Elektrisch geladene Schwarze Löcher

Elektrisch geladene, nichtrotierende Schwarze Löcher werden durch die Reissner-Nordström-Metrik beschrieben; elektrisch geladene, rotierende Schwarze Löcher durch die Kerr-Newman-Metrik.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de