Elliptische Koordinaten

Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Elliptizität ist hier mit e bezeichnet.

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch elliptische Koordinatensysteme im dreidimensionalen Raum.

Ebene elliptische Koordinaten

Definition

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen und auf der -Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten (u,v) hat dann die kartesischen Koordinaten

$x=c\cdot \cosh u\cdot \cos v;\quad y=c\cdot \sinh u\cdot \sin v.$

mit $u\in \left[0,\infty \right[$ und $v\in \left[0,2\pi \right[$ . Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

$x+iy=c\cdot \cosh(u+iv).$

Transformationen

Zur Transformation von elliptischen in kartesische Koordinaten $(u,v)\rightarrow (x,y)$ werden ganz einfach die obigen Beziehungen verwendet.

Um die inverse Transformation $(x,y)\rightarrow (u,v)$ durchzuführen muss man die prinzipielle Idee dieser Koordinaten zu Hilfe nehmen. Diese besagt, dass der Punkt (x|y) sowohl auf einer Ellipse als auch auf einer konfokalen Hyperbel liegen muss. Diese besitzen Halbachsen wie im unteren Abschnitt angegeben. Mithilfe der Ellipsen- und Hyperbelgleichung in kartesischen Koordinaten und Hauptachsenform folgt daraus:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(c\cosh u)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(c\sinh u)^{2}}}$

und

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(c\cos v)^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(c\sin v)^{2}}}$ .

Diese Gleichungen werden durch die oben angegebenen kartesischen Darstellungen erfüllt.

Hieraus lassen sich unter Verwendung der elementaren Beziehungen der trigonometrischen bzw. hyperbolischen Funktionen

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ und $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$

folgende Transformationsvorschriften ableiten:

$c^{2}\sinh ^{2}u={\frac {(x^{2}+y^{2}-c^{2})}{2}}+{\sqrt {({\frac {(x^{2}+y^{2}-c^{2})}{2}})^{2}+c^{2}y^{2}}}=m+{\sqrt {m^{2}+c^{2}y^{2}}}$

$c^{2}\sin ^{2}v=-({\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}})+{\sqrt {({\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}})^{2}+c^{2}y^{2}}}=-m+{\sqrt {m^{2}+c^{2}y^{2}}}$

mit der schreibvereinfachenden Substitution $m={\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}$ .

Weitere Transformationen wie beispielsweise von ebenen Polarkoordinaten auf elliptische Koordinaten lassen sich über den Zwischenschritt der kartesischen Koordinaten durchführen.

Eigenschaften

Die -Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die -Koordinatenlinien Ellipsen. Für u=0 ist die -Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für v=0 ist die -Koordinatenlinie zur Halbgeraden $\left[c,\infty \right[$ auf der -Achse entartet, für $v=\pi$ zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen -Achse. Für $v={\frac \pi 2}$ und $v={\frac {3\pi }2}$ ist die -Koordinatenlinie die positive bzw. die negative -Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität $e=c$ . Die Ellipsen, auf denen konstant ist, haben die große Halbachse $a=c\cosh u$ , die kleine Halbachse $b=c\sinh u$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\frac 1{\cosh u}}$ . Die Hyperbeln, auf denen konstant ist, haben die reelle Halbachse $a=c\cos v$ , die imaginäre Halbachse $b=c\sin v$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\frac 1{\cos v}}$ .

Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur deshalb möglich, da Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Cosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse ( $a^{2}=e^{2}+b^{2}$ ) bei Ellipsen bzw. realer und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln ( $a^{2}=e^{2}-b^{2}$ ) trivial erfüllen.

Verallgemeinerung auf drei Dimensionen

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische -Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel $\theta$ gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c\cdot \left[\cosh u\cdot \cos v\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\sinh u\cdot \sin v\cdot {\begin{pmatrix}0\\\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\right]$

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die $\theta$ -Koordinatenlinien sind hier Ellipsen. Die Koordinate läuft hier von 0 bis $\pi$ , die Koordinate von 0 bis unendlich und $\theta$ von 0 bis $2\pi$ .

Anwendungen

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H₂⁺-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung analytisch gelöst werden.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de