Schwerer Kreisel

In der Kreiseltheorie ist der schwere Kreisel ein Kreisel, bei dem ein auf ihn einwirkendes äußeres Drehmoment von seiner Gewichtskraft herrührt. Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschließlich dem schweren Kreisel mit Stützpunkt gewidmet und viel Aufwand wurde und wird in das Auffinden exakter Lösungen der Bewegungsgleichungen in Form der Euler-Poisson-Gleichungen gesteckt.

Durch die auf der Erde allgegenwärtige Schwerkraft bekommen die schweren Kreisel eine besondere Relevanz.

Schweremoment und Drehimpuls

Das Schweremoment berechnet sich aus dem Kreuzprodukt × des Hebelarms ${\vec {s}}$ vom Stützpunkt zum Massenmittelpunkt mit der Gewichtskraft ${\vec {G}}$ zu

${\vec {M}}={\vec {s}}\times {\vec {G}}={\vec {s}}\times (-mg{\hat {e}}_{z})$

Darin ist

m die Masse,
g die Schwerebeschleunigung und
ê_z der antiparallel zur Gewichtskraft nach oben weisende Einheitsvektor.

Das Moment ist somit senkrecht zur Gewichtskraft horizontal orientiert und ist nach dem Drallsatz gleich der Geschwindigkeit des Endpunkts des Drehimpulses. Dessen Endpunkt bewegt sich daher beim schweren Kreisel mit Stützpunkt in einer horizontalen Ebene, deren Abstand zum Stützpunkt ein Integral der Bewegung ist.

Integrale der Bewegung

Bei jedem schweren Kreisel ist die Norm der Gewichtskraft, der Drehimpuls in Lotrichtung und die Gesamtenergie E konstant. Die Konstanten werden in der Kreiseltheorie Integrale genannt, die ersten beiden auch Casimir-Invarianten. Das zweite Integral L_z wird nach dem Drall- oder Flächensatz auch Drall- bzw. Flächenintegral genannt. Die Gesamtenergie ist wegen des Energieerhaltungssatzes konstant, siehe Euler-Poisson-Gleichungen.

Bewegungsgleichungen

→ Hauptartikel: Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Wird das Schweremoment in die Euler’schen Kreiselgleichungen eingesetzt, entsteht

${\begin{aligned}\Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}+(\Theta _{3}-\Theta _{2})\omega _{2}\omega _{3}={\dot {L}}_{1}+\left({\frac {1}{\Theta _{2}}}-{\frac {1}{\Theta _{3}}}\right)L_{2}L_{3}=&mg(n_{2}s_{3}-n_{3}s_{2})\\\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}+(\Theta _{1}-\Theta _{3})\omega _{3}\omega _{1}={\dot {L}}_{2}+\left({\frac {1}{\Theta _{3}}}-{\frac {1}{\Theta _{1}}}\right)L_{3}L_{1}=&mg(n_{3}s_{1}-n_{1}s_{3})\\\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}+(\Theta _{2}-\Theta _{1})\omega _{1}\omega _{2}={\dot {L}}_{3}+\left({\frac {1}{\Theta _{1}}}-{\frac {1}{\Theta _{2}}}\right)L_{1}L_{2}=&mg(n_{1}s_{2}-n_{2}s_{1})\end{aligned}}$

Der Überpunkt bildet die Zeitableitung, mg ist die Gewichtskraft und für k = 1,2,3 ist jeweils

ω_k die Komponente der Winkelgeschwindigkeit,
L_k die Komponente des Drehimpulses,
s_k die Komponente des Massenmittelpunkts,
n_k die Komponente des Einheitsvektors ê_z und
Θ_k ein Hauptträgheitsmoment des Kreisels

im Hauptachsensystem. Häufig werden

die Hauptträgheitsmomente Θ_1,2,3 mit A, B bzw. C,
die Winkelgeschwindigkeiten ω_1,2,3 mit p, q bzw. r und
die Richtungscosinusse n_1,2,3 mit γ_1,2,3 oder γ, γ', γ", gelegentlich auch mit umgekehrtem Vorzeichen

bezeichnet.

Die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen sowie die Richtungscosinusse können mit den Euler- oder Kardan-Winkeln ausgedrückt werden, siehe z.B. Bezeichnungen beim Euler-Kreisel, was auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den drei Winkeln führt.

Alternativ können die Richtungscosinusse als eigenständige Unbekannte eingeführt werden, was die Euler-Poisson-Gleichungen ergibt, die ein System aus sechs Differentialgleichungen erster Ordnung sind.

Wilhelm Hess konnte 1890 die Integrale der Bewegung nutzen, um die Richtungscosinusse mit dem Drehimpuls auszudrücken, was drei Differentialgleichungen für den Drehimpuls ergibt, siehe Euler-Poisson-Gleichungen.

Symmetrischer schwerer Kreisel mit Stützpunkt

Wenn beim symmetrischen Kreisel mit Stützpunkt vorrangig die Figurenachse ê₃ interessiert und der Massenmittelpunkt auf ihr liegt oder höchstens um eine Distanz ρ in z-Richtung von ihr abweicht ( ${\vec {s}}$ = ρ ê_z + s ê₃) gelten bezüglich des Stützpunkts die koordinatenunabhängigen Vektorgleichungen

${\begin{aligned}{\dot {\vec {L}}}=&s{\hat {e}}_{3}\times (-mg{\hat {e}}_{z})\\{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\end{aligned}}$

die auch in einem Inertialsystem benutzt werden können. Es ist ein System aus sechs gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung. Die hier ausgenutzte Beziehung

${\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}{\hat {e}}_{3}$

ist beim symmetrischen Kreisel begründet. Es sind C das axiale und A das äquatoriale Hauptträgheitsmoment des Kreisels.

Siehe auch

Schwere symmetrische Kreisel:

Literatur

K. Magnus: Kreisel: Theorie und Anwendungen. Springer, 1971, ISBN 978-3-642-52163-8

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de