Casimir-Operator

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition

Angenommen, $\mathfrak{g}$ ist eine -dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

$\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$

irgendeine Basis von $\mathfrak{g}$ und

$\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$

sei die Dualbasis von $\mathfrak{g}$ hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z.B. der Killingform) auf $\mathfrak{g}$ . Das quadratische Casimir-Element $\Omega$ ist das durch die Formel

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}$

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$ . Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element $\Omega$ davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$ liegt.

Sei $\rho$ eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum . Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante $\rho (\Omega )$ der durch

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i})$

gegebene lineare Operator auf .

Anwendungen

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit zugehöriger Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , so werden die Elemente von $\mathfrak{g}$ durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf beschrieben. Sei $\rho$ die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf . In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der -invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf .

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de