Givens-Rotation

In der linearen Algebra ist eine Givens-Rotation (nach Wallace Givens) eine Drehung in einer Ebene, die durch zwei Koordinaten-Achsen aufgespannt wird. Manchmal wird dies auch als Jacobi-Rotation (nach Carl Gustav Jacobi) bezeichnet.

Die Anwendung als Methode in der numerischen linearen Algebra zum Beispiel bei der Bestimmung von Eigenwerten und QR-Zerlegung stammt aus den 1950er Jahren, als Givens am Oak Ridge National Laboratory war. Solche Drehungen werden schon im älteren Jacobi-Verfahren (1846) benutzt, praktikabel wurden sie allerdings erst mit dem Aufkommen von Computern.

Beschreibung

Die Transformation lässt sich durch eine orthogonale Matrix der Form

$G(i,k,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &-s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

beschreiben, wobei $c = \cos(\theta)$ und $s = \sin(\theta)$ in der -ten und -ten Zeile und Spalte erscheinen. Eine solche Matrix heißt Givens-Matrix. Formaler ausgedrückt:

$G(i,k,\theta )_{j,l}={\begin{cases}\cos \theta &{\mbox{ falls }}j=i,l=i{\mbox{ oder }}j=k,l=k\\\sin \theta &{\mbox{ falls }}j=i,l=k\\-\sin \theta &{\mbox{ falls }}j=k,l=i\\1&{\mbox{ falls }}j=l,j\neq i,j\neq k\\0&{\mbox{ sonst. }}\end{cases}}$

Das Matrix-Vektor-Produkt $G^{T}(i,k,\theta )x$ stellt eine Drehung des Vektors um einen Winkel (i,k) -Ebene dar, diese wird Givens-Rotation genannt.

Die Hauptanwendung der Givens-Rotation liegt in der numerischen linearen Algebra, um Nulleinträge in Vektoren und Matrizen zu erzeugen. Dieser Effekt kann beispielsweise bei der Berechnung der QR-Zerlegung einer Matrix ausgenutzt werden. Außerdem werden solche Drehmatrizen beim Jacobi-Verfahren benutzt.

QR-Zerlegung mittels Givens-Rotationen

Das Verfahren ist stabil. Pivotisierung ist nicht erforderlich.
Flexible Berücksichtigung von schon vorhandenen 0-Einträgen in strukturierten (insbesondere dünnbesetzten) Matrizen.
Die Idee besteht darin, sukzessiv die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen auf Null zu setzen, indem man die Matrix von links mit Givens-Rotationen multipliziert. Zunächst bearbeitet man die erste Spalte von oben nach unten und dann nacheinander die anderen Spalten ebenfalls von oben nach unten.
Man muss also ${\mathcal {O}}(m\,n)$ Matrizenmultiplikationen durchführen. Da sich jeweils pro Multiplikation höchstens 2n Werte verändern, beträgt der Aufwand für eine QR-Zerlegung einer vollbesetzten m×n-Matrix insgesamt ${\mathcal {O}}(m\,n^{2})$ . Für dünn besetzte Matrizen ist der Aufwand allerdings erheblich niedriger.
Will man den Eintrag an der Matrixposition zu null transformieren, so setzt man $c=a_{{jj}}/\rho$ und $s=a_{{ij}}/\rho$ , wobei $\rho =\operatorname{sgn}(a_{{jj}}){\sqrt {a_{{jj}}^{2}+a_{{ij}}^{2}}}$ .

Beispiel

$G_{{2,4}}\cdot G_{{1,4}}\cdot {\begin{bmatrix}3&5\\0&2\\0&0\\4&5\end{bmatrix}}=G_{{2,4}}\cdot {\begin{bmatrix}5&7\\0&2\\0&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&7\\0&{\sqrt {5}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

mit

$G_{{1,4}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}&0&0&{\frac {4}{5}}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\{\frac {-4}{5}}&0&0&{\frac {3}{5}}\end{bmatrix}}$ , $G_{{2,4}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\sqrt {5}}}}&0&-{\frac {1}{{\sqrt {5}}}}\\0&0&1&0\\0&{\frac {1}{{\sqrt {5}}}}&0&{\frac {2}{{\sqrt {5}}}}\\\end{bmatrix}}$

Man erhält schließlich die QR-Zerlegung:

$Q=(G_{{2,4}}\cdot G_{{1,4}})^{{T}}=(G_{{1,4}}^{T}\cdot G_{{2,4}}^{{T}})={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {4}{5{\sqrt {5}}}}&0&-{\frac {8}{5{\sqrt {5}}}}\\0&{\frac {2}{{\sqrt {5}}}}&0&{\frac {1}{{\sqrt {5}}}}\\0&0&1&0\\{\frac {4}{5}}&-{\frac {3}{5{\sqrt {5}}}}&0&{\frac {6}{5{\sqrt {5}}}}\end{bmatrix}},\quad R={\begin{bmatrix}5&7\\0&{\sqrt {5}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad Q\cdot R={\begin{bmatrix}3&5\\0&2\\0&0\\4&5\end{bmatrix}}$

Algorithmus

Zur Berechnung einer QR-Zerlegung einer Matrix $A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}\in \mathbb {R} ^{m\times n},m\geq n$ geht man wie folgt vor.

Drehe die erste Spalte $a_{-,1}$ der Matrix auf einen Vektor mit einer Null als letzten Eintrag:

$G_{1,m}A={\begin{bmatrix}*&\cdots &\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\*&\cdots &\cdots &*\\0&*&\cdots &*\end{bmatrix}}$

wobei $c,s,\rho$ für $G_{1,m}$ wie oben beschrieben gewählt werden müssen:

$\rho =\operatorname {sgn}(a_{1,1}){\sqrt {a_{1,1}^{2}+a_{m,1}^{2}}},\;c={\frac {a_{1,1}}{\rho }},\;s={\frac {a_{m,1}}{\rho }}.$

Nun geht man analog mit den nächsten Einträgen der ersten Spalte vor und speichert sich alle Umformungsmatrizen $G_{1,i},i=2,\ldots ,m$ in der Matrix $G_{1}$ :

${\begin{aligned}G_{1}A=&{\begin{bmatrix}*&\cdots &\cdots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&*&\cdots &*\end{bmatrix}}\\{\text{mit}}\quad G_{1}:=&G_{1,2}\cdot \ldots \cdot G_{1,m}.\end{aligned}}$

Dabei muss unbedingt darauf geachtet werden, dass sich die einzelnen Einträge $(c,s,\rho )$ der Matrizen $G_{1,i}$ nicht mehr auf die ursprüngliche Matrix beziehen, sondern auf die schon umgeformte Matrix: $G_{1,i+1}\cdot \ldots \cdot G_{1,m}A$ .

Nun muss man die folgenden Spalten analog bearbeiten und somit Umformungsmatrizen $G_{i},i=2,\ldots ,n$ finden, welche jeweils die -te Spalte der Matrix $G_{i-1}\cdot \ldots \cdot G_{1}A$ auf einen Vektor mit Nulleinträgen unterhalb des -ten Elements transformiert.

Schlussendlich ergibt sich die QR-Zerlegung mittels:

$Q:=G_{1}^{T}\cdot \ldots \cdot G_{n}^{T}\quad {\text{und}}\quad R:=G_{n}\cdot \ldots \cdot G_{1}A.$

Literatur

Martin Hermann: Numerische Mathematik, 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, Oldenbourg Verlag, München und Wien 2006, ISBN 3-486-57935-5.
W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 3-540-25544-3.

Basierend auf einem Artikel in:

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