Henkelzerlegung

In der Differentialtopologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Henkelzerlegung die Grundlage für die Klassifikation und Beschreibung von Mannigfaltigkeiten.

Definition: Ankleben eines Henkels

Diese 3-dimensionale Mannigfaltigkeit entsteht durch Ankleben dreier 1-Henkel an einen 0-Henkel.

Notation: $B^{n}$ bezeichne die $n$ -dimensionale Vollkugel, $S^{n-1}=\partial B^{n}$ die $(n-1)$ -dimensionale Sphäre.

Im Folgenden bezeichnen wir als $k$ -Henkel einer $m$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit das Produkt

$H_{k}=B^{k}\times B^{m-k}$

mit der durch die Produktstruktur gegebenen Zerlegung

$\partial H_{k}=S^{k-1}\times B^{m-k}\cup B^{k}\times S^{m-k-1}$ .

$B^{k}\times \left\{0\right\}$ wird als Kern und $\left\{0\right\}\times B^{m-k}$ als Kokern des Henkels bezeichnet.

Nun sei $M$ eine $m$ -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Das Ergebnis des Anklebens eines $k$ -Henkels ist die Mannigfaltigkeit

$M\cup _{f}H_{k}=\left(M\sqcup (B^{k}\times B^{m-k})\right)/\sim$

mit der Äquivalenzrelation $\sim$ erzeugt durch $(p,x)\sim f(p,x)$ für alle $(p,x)\in S^{k-1}\times B^{m-k}\subset B^{k}\times B^{m-k}$ ,

für eine Einbettung $f\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$ . Durch kanonisches Glätten der Ecken erhält man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.^[1] (Insbesondere ist das Ankleben eines $0$ -Henkels die disjunkte Vereinigung mit einem $m$ -Ball $B^{m}$ ).

Die so erhaltene Mannigfaltigkeit ist eindeutig bestimmt durch die Einbettung $f\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$ oder äquivalent durch eine gerahmte Einbettung $S^{k-1}\to \partial M$ .

Die Sphäre $S^{k-1}\times \left\{0\right\}$ heißt die Anklebesphäre und die Sphäre $\left\{0\right\}\times S^{m-k-1}$ heißt die Gürtelsphäre.

Henkelzerlegung

Jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt eine Henkelzerlegung.

Der Beweis dieses Satzes benutzt Morse-Theorie. Zu jeder differenzierteren Mannigfaltigkeit $M$ gibt es eine Morse-Funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$ , deren kritische Punkte unterschiedlichen Funktionswerten entsprechen (und nicht auf dem Rand liegen). Der Satz folgt dann mittels vollständiger Induktion aus folgender lokalen Beschreibung der Umgebung eines kritischen Punktes.

Es sei $f\colon M\to \mathbb {R}$ eine $C^{\infty }$ -Funktion mit genau einem kritischen Punkt in $f^{-1}(0)$ und keinen weiteren kritischen Punkten in $f^{-1}(\left[-\epsilon ,\epsilon \right])$ (für ein geeignetes $\epsilon >0$ ). Dann entsteht $f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])$ aus $f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])$ durch Ankleben eines $k$ -Henkels, wobei $k$ der Index des kritischen Punktes in $f^{-1}(0)$ ist.

Dieser Satz geht auf Stephen Smale zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der Poincaré-Vermutung in Dimensionen $\geq 5$ benutzte.^[2] John Milnor bewies in seinem Buch „Morse Theory“ eine schwächere Version, die besagt, dass $f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])$ homotopieäquivalent zu dem aus $f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])$ durch Ankleben einer k-Zelle entstehenden Raum ist.^[3] Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben.^[4] vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui^[5] und Madsen-Tornehave.^[6]

Niedrigdimensionale Beispiele

Klassifikation der Flächen: Jede geschlossene, orientierbare Fläche besitzt eine Henkelzerlegung aus einem 0-Henkel, $2g$ 1-Henkeln und einem 2-Henkel. Die Zahl $g$ ist das Geschlecht der Fläche.
Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten: Ein (3-dimensionaler) Henkelkörper vom Geschlecht $g$ entsteht durch Ankleben von $g$ 1-Henkeln an einen 0-Henkel. Als Heegaard-Zerlegung bezeichnet man die Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper. Jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung, das minimal mögliche $g$ wird als Heegaard-Geschlecht bezeichnet. Eine Heegaard-Zerlegung bestimmt eine Henkelzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in einen 0-Henkel, $g$ 1-Henkel, $g$ 2-Henkel und einen 3-Henkel.
Kirby-Kalkül: Henkelzerlegungen 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten werden durch Kirby-Diagramm beschrieben.

Relative Henkelzerlegung

Es sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes $\partial M$ in (möglicherweise leere) Teilmengen

$\partial M=\partial _{+}M\sqcup \partial _{-}M$ .

Eine Henkelzerlegung von $M$ relativ zu $\partial _{-}M$ ist eine Darstellung von $M$ als durch sukzessives Ankleben von Henkeln an $\partial _{-}M\times \left[0,1\right]$ konstruierte Mannigfaltigkeit. Mittels Morse-Theorie kann man zeigen, dass es zu jedem solchen Paar $(M,\partial _{-}M)$ eine Henkelzerlegung von $M$ relativ zu $\partial _{-}M$ gibt.^[7]

Cerf-Theorie

Zwei Henkelzerlegungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch Henkelgleiten (engl.: handle slide) und Hinzufūgen oder Weglassen zweier komplementärer Henkel (engl.: cancellation) ineinander überführen.

Henkelgleiten

Die Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ entstehe aus $M$ durch Ankleben eines $k$ -Henkels mittels der Anklebe-Abbildung $\phi \colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$ . Es sei $h\colon M\times \left[0,1\right]\to M$ eine Isotopie mit $h_{0}=id$ und $h:=h_{1}$ . Dann ist die durch Ankleben eines $k$ -Henkels an $M$ mittels der Verklebeabbildung $h\circ \phi$ konstruierte Mannigfaltigkeit $M^{\prime \prime }$ diffeomorph zu $M^{\prime }$ .

Insbesondere kann man einen $k$ -Henkel stets so ankleben, dass seine Anklebesphäre disjunkt von den Gürtelsphären aller $l$ -Henkel mit $l\geq k$ ist. Als Folgerung daraus kann man für jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Henkelzerlegung so konstruieren, dass Henkel in aufsteigender Folge ihrer Indizes an eine Menge von $0$ -Henkeln angeklebt werden, d. h. für $l\geq k$ werden die $l$ -Henkel nach den $k$ -Henkeln angeklebt.

Komplementäre Henkel

Ein $k$ -Henkel und ein $(k+1)$ -Henkel heißen komplementär, wenn die Anklebesphäre des $(k+1)$ -Henkels die Gürtelsphäre des $k$ -Henkels in genau einem Punkt transversal schneidet.

Wenn eine Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ aus einer Mannigfaltigkeit $M$ durch Ankleben eines $k$ -Henkels und anschließendes Ankleben eines zu diesem komplementären $(k+1)$ -Henkels entsteht, dann ist $M^{\prime }$ diffeomorph zu $M$ . Als Folgerung daraus kann man eine Henkel-Zerlegung stets so wählen, dass es genau einen 0-Henkel gibt und weiterhin, falls $\partial M=\emptyset$ bzw. $\partial M\not =\emptyset$ so dass es genau einen bzw. keinen $m$ -Henkel mit $m=\dim(M)$ gibt.

Satz von Cerf

Zwei (relative) Henkelzerlegungen eines Paares $(M,\partial _{-}M)$ (mit in aufsteigender Reihenfolge der Indizes angeklebten Henkeln) lassen sich durch eine Folge von Henkel-Gleiten, Hinzufügen/Entfernen eines komplementären Henkelpaares und Isotopien ineinander überführen.^[8]

Chirurgien (Sphärische Modifikationen) und Zusammenhang zur Kobordismustheorie

2-Chirurgie der 2-Sphäre

Wenn eine Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ aus $M$ durch Ankleben eines $k$ -Henkels entsteht, dann entsteht die (m-1)-Mannigfaltigkeit $\partial M^{\prime }$ aus $\partial M$ durch eine $(k-1)$ -Chirurgie, d. h. durch Ausschneiden der eingebetteten $S^{k-1}\times D^{m-k}$ und anschließendes Einkleben von $D^{k}\times S^{p-k-1}$ mittels der kanonischen Identifikation

$\partial (D^{k}\times S^{m-k-1})=S^{k-1}\times S^{m-k-1}=\partial (S^{k-1}\times D^{m-k})$ .

(Diese Chirurgien werden in der Literatur auch als sphärische Modifikationen bezeichnet.)

Sei $W$ ein Kobordismus zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten $M_{0}$ und $M_{1}$ , also eine kompakte Mannigfaltigkeit $W$ mit $\partial W=M_{0}\sqcup M_{1}$ . Dann erhält man mit dem Satz von Smale eine Henkelzerlegung von $W$ relativ zu $M_{0}$ und mithin eine Konstruktion von $M_{1}$ aus $M_{0}$ durch eine Abfolge von Chirurgien (sphärischen Modifikationen).

Literatur

Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus (= Graduate Studies in Mathematics. 20). American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6.
Yukio Matsumoto: An introduction to Morse theory (= Translations of Mathematical Monographs. 208 = Iwanami Series in Modern Mathematics.). Translated from the 1997 Japanese original by Kiki Hudson and Masahico Saito. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-1022-7.

Einzelnachweise

↑ Stephen Smale: On the structure of 5-manifolds. In: Annals of Mathematics. Band 75, Nummer 1, 1962, S. 38–46, JSTOR: 1970417.
↑ Stephen Smale: Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four. In: Annals of Mathematics. Band 74, Nummer 2, 1961, S. 391–406, JSTOR: 1970239.
↑ John Milnor: Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells (= Annals of Mathematics Studies. 51). Princeton University Press, Princeton NJ 1963.
↑ Richard S. Palais: Morse theory on Hilbert manifolds. In: Topology. Band 2, Nummer 4, 1963, S. 299–340, doi: 10.1016/0040-9383(63)90013-2.
↑ Takehiro Fukui: On a proof of theorem in passing a critical level. In: Mathematical Seminar Notes. Kobe University. Band 3, 1975, S. 71–74.
↑ Ib Madsen, Jørgen Tornehave: From Calculus to Cohomology. De Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1997, ISBN 0-521-58059-5 (Appendix C).
↑ John Milnor: Lectures on the h-Cobordism Theorem. Notes by Laurent Siebenmann and Jonathan Sondow. Princeton University Press, Princeton NJ 1965.
↑ Jean Cerf: La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie. In: Publications Mathématiques de l’IHÉS. Band 39, 1970, S. 5–173.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de