Suffiziente Statistik

In der mathematischen Statistik ist eine suffiziente Statistik, auch erschöpfende Statistik genannt, ist eine Statistik, die alle relevante Information bezüglich des unbekannten Parameters aus der Zufallsstichprobe enthält. Aus maßtheoretischer Sicht ist Suffizienz bezüglich eines Modells eine mögliche Eigenschaft messbarer Funktionen, die aus dem Stichprobenraum in einen beliebigen Messraum abbilden. Man charakterisiert dabei solche Abbildungen als suffizient (auch: erschöpfend), die einen hochdimensionalen Datenvektor in eine einfachere Form transformieren, ohne dabei wesentliche Informationen über die zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu verlieren. Gegenstück der Suffizienz ist die Verteilungsfreiheit, sie entspricht einer uninformativen Transformation.

Anschaulich formuliert sind also genau solche Statistiken suffizient, die sämtliche Informationen über die zu schätzenden Parameter des Modells beinhalten, die in der Stichprobe enthalten sind.

Die Suffizienz zählt neben der Erwartungstreue und der Äquivarianz/Invarianz zu den klassischen Reduktionsprinzipien der mathematischen Statistik. Ihre Bedeutung erhält die Suffizienz durch den Satz von Rao-Blackwell. Aus ihm folgt, dass "optimale" Schätzer im Bezug auf den mittleren quadratischen Fehler oder entsprechende Verallgemeinerungen immer in der Menge der suffizienten Schätzer zu finden sind.

Definition

Formal seien $\Psi$ der Stichprobenraum, $\Omega _{T}$ ein beliebiger Messraum und $T\colon \Psi \to \Omega _{T}$ eine messbare Abbildung zwischen den beiden Räumen. Ferner sei $X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})$ eine Zufallsvariable auf dem Stichprobenraum, deren Verteilung aus einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen $\mathcal P = \{ P_{\vartheta} ; \; \vartheta \in \Theta \}$ stammt. $T \;$ heißt dann suffizient für die Familie $\mathcal P,$ falls die Verteilung von $X \; | \; T(X) = t$ nicht von $\vartheta$ abhängt.

Allgemeiner lässt sich die Suffizienz einer Statistik mittels der Suffizienz von σ-Algebren definieren: Eine Statistik heißt suffizient, oder erschöpfend wenn die von ihr erzeugte σ-Algebra eine suffiziente σ-Algebra ist.

Sätze über Suffizienz bei dominierten Verteilungsklassen

Satz von Halmos-Savage

→ Hauptartikel: Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage liefert ein Suffizienzkriterium unter der Annahme, dass die Verteilungsklasse dominiert ist. Lassen sich dann abzählbar unendlich viele Maße der Verteilungsklasse zu einem Maß $P^{*}$ kombinieren, so dass dieses die Verteilungsklasse dominiert und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß der Verteilungsklasse eine $\mathcal S$ -messbare Dichte bezüglich $P^{*}$ besitzt, dann ist $\mathcal S$ eine suffiziente σ-Algebra.

Neyman-Kriterium

→ Hauptartikel: Neyman-Kriterium

Unter der Voraussetzung, dass $\mathcal{P}$ eine dominierte Verteilungsklasse ist, ist eine Statistik $T \;$ genau dann suffizient, wenn messbare Funktionen $g_{\vartheta}\ \left(\vartheta\in\Theta\right)$ und $h \;$ existieren, so dass die Dichte $f_{{\vartheta }}$ wie folgt zerlegt werden kann: $f_{\vartheta}(x) = h(x) g_{\vartheta}(T(x)).$ Diese Charakterisierung der Suffizenz geht auf Jerzy Neyman zurück. Insbesondere sind bijektive Transformationen suffizienter Statistiken wieder suffizient. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter zu handhaben.

Weitere Suffizienzbegriffe

Minimalsuffizienz

→ Hauptartikel: Minimalsuffizienz

Die Minimalsuffizienz ist eine stärkere Forderung als die Suffizienz, die ebenfalls für Statistiken und σ-Algebren definiert wird. Sie stellt die Frage nach der maximal möglichen Datenkompression, also nach einer kleinstmöglichen suffizienten σ-Algebra.

Starke Suffizienz

Die starke Suffizienz ist eine Abwandlung des herkömmlichen Suffizienzbegriffes, die mittels Markow-Kernen definiert wird. Für borelsche Räume stimmen starke Suffizienz und Suffizienz überein.

Wichtige Sätze

Einen Zusammenhang zwischen Suffizienz, Verteilungsfreiheit und Vollständigkeit treffen die Sätze von Basu.
Der Satz von Lehmann-Scheffé und der Satz von Rao-Blackwell treffen mithilfe suffizienter Statistiken Aussagen über die Existenz gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer.

Literatur

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6.
Helmut Pruscha: Vorlesungen über Mathematische Statistik. B. G. Teubner, Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02393-8.

Basierend auf einem Artikel in:

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