Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

Aussage

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell $(\Omega, \mathcal A, \mathcal P)$ mit dominierter Verteilungsklasse ${\mathcal P}$ , die von $\nu$ dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra ${\mathcal {S}}$ von $\mathcal A$ .

Dann ist ${\mathcal {S}}$ suffizient genau dann, wenn eine $\mathcal A-\mathcal B([0,\infty))$ -messbare Funktion existiert und für jedes $P \in \mathcal P$ eine $\mathcal S - \mathcal B([0,\infty))$ -messbare Funktion f_P existiert, so dass

$\frac{\mathrm dP}{\mathrm d\nu}(x)=h(x) \cdot f_P(x)$

gilt bis auf eine $\nu$ -Nullmenge. Dabei ist $\tfrac{\mathrm dP}{\mathrm d\nu}(x)$ die Radon-Nikodým-Ableitung von bezüglich $\nu$ .

Für Statistiken

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

$T: (\Omega, \mathcal A) \to (\Omega^*, \mathcal A^*)$

suffizient genau dann, wenn eine $\mathcal A-\mathcal B([0,\infty))$ -messbare Funktion existiert und für jedes $P \in \mathcal P$ eine $\Omega^* - \mathcal B([0,\infty))$ -messbare Funktion f_P existiert, so dass

$\frac{\mathrm dP}{\mathrm d\nu}(x)=h(x) \cdot f_P(T(x))$

gilt bis auf eine $\nu$ -Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn $\sigma (T)$ eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie

Per Definition hat für die Exponentialfamilie ${\mathcal P}$ bezüglich $\mu$ jedes $P \in \mathcal P$ die Dichtefunktion

$f_{\vartheta}(x)= \frac{\mathrm dP}{\mathrm d\mu}(x)=C(\vartheta)h(x)\exp (\langle Q(\vartheta);T(x)\rangle)$

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. und sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

$f_P(y)=\tilde f_\vartheta(y)=C(\vartheta)\exp (\langle Q(\vartheta);y\rangle)$

um zu zeigen, dass eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

Literatur

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de