Quadratische Ergänzung

Animation, die den Vorgang der quadratischen Ergänzung darstellt. (animierte GIF-Version)

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so dass ein quadriertes Binom entsteht und die erste oder zweite Binomische Formel angewendet werden kann. Dieses Verfahren kann zum Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelform (und damit auch des Scheitelpunkts, also des Extremwerts) von quadratischen Funktionen verwendet werden.

In der analytischen Geometrie gehört dieses Verfahren zu den Methoden, mit denen Gleichungen von Quadriken auf eine Normalform gebracht werden können. Dabei werden quadratische Terme in mehreren Variablen (quadratische Formen) umgeformt.

Beispiele

Allgemeines Verfahren zur Bestimmung einer Scheitelform

Gegebene quadratische Funktion:	$y=ax^2+bx+c\,$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	$y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$

Der eingeklammerte Term wird jetzt in eine Form (x^2+2dx+d^2) - d^2 gebracht, so dass die erste binomische Formel angewendet werden kann. Dabei wird d^2 - d^2 als „nahrhafte Null“ bezeichnet, oder als „Nullergänzung“.

Quadratische Ergänzung:	$y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c$
Bildung des Quadrats:	$y=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c$
Ausmultiplizieren:	$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c$
Scheitelform der Funktion:	$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$
Ablesen des Scheitelpunkts:	$S\left(-\frac{b}{2a}\right\|\left.c-\frac{b^2}{4a}\right)$

Ergänzung: Mit x_S=-b/(2a) ist also x_S die -Koordinate des Scheitelpunkts. Für die zugehörige -Koordinate y_S gilt dann $y_S=c-a \cdot (x_S)^2$ .

Beispiel

Gegebene quadratische Funktion:	$y=2x^2-12x+13\,$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	$y=2(x^2-6x)+13\,$

Wegen $(\tfrac{6}{2})^2 = 9$ wird die „nahrhafte Null“ 9-9 eingefügt:

Quadratische Ergänzung:	$y=2(x^2-6x+9-9)+13\,$
Bildung des Quadrats:	$y=2[(x-3)^2-9]+13\,$
Ausmultiplizieren:	$y=2(x-3)^2-18+13\,$
Scheitelform der Funktion:	$y=2(x-3)^2-5\,$
Ablesen des Scheitelpunkts:	$S(3\|-5)\,$

Lösung einer quadratischen Gleichung

(Es sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten.)

Gegebene quadratische Gleichung:	$2x^2-12x=32\,$
Normierung:	$x^2-6x=16\,$

Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in eine Form x^2-2dx+d^2 gebracht, so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann. d^2 wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert:

Quadratische Ergänzung:	$x^2-6x+9=16+9\,$
Bildung des Quadrats:	$(x-3)^2=25\,$
Wurzelziehen:	$x-3= \pm 5\,$
Auflösen der Betragsfunktion:	$x-3=-5\,$ oder $x-3=5\,$
Lösungsmenge:	$\mathbb{L}=\{-2;8 \}$

Bestimmung einer Stammfunktion

Das unbestimmte Integral

$\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x$

soll berechnet werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert

$4x^2-8x+13 = \dotsb = 4(x-1)^2+9\,.$

Für das Integral bedeutet dies:

$\begin{align}\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x & = \frac{1}{4}\int\frac{1}{(x-1)^2+(\frac{3}{2})^2}\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\arctan\frac{2(x-1)}{3}+ C \end{align}$

Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt, welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann:

$\int\frac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$

Normalform einer Quadrik

Die Quadrik

$Q = \{(x,y) \in \R^2 \mid q(x,y) = 0\}$ mit q(x,y) = x^2 + 4xy + 5y^2 - 6x - 14y + 9

soll auf affine Normalform gebracht werden. Quadratische Ergänzung in der Variablen (d.h. wird als Parameter angesehen) und anschließende quadratische Ergänzung in ergibt

${\begin{aligned}q(x,y)&=x^{2}+(4y-6)x+5y^{2}-14y+9\\&=x^{2}+(4y-6)x+(2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y+1^{2}-1^{2}\\&=(x+2y-3)^{2}+(y-1)^{2}-1\end{aligned}}$

Mit der Substitution u = x + 2y - 3 , v = y-1 wird also die Gleichung der Quadrik auf die Kreisgleichung u^2 + v^2 = 1 transformiert.

Alternativen

Die Scheitelform einer quadratischen Funktion kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung (durch Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung) gewonnen werden.

Zum Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es bereits fertige Lösungsformeln, in die man nur noch einsetzen muss. Die Herleitung dieser Formeln geschieht aber doch wieder unter Verwendung der quadratischen Ergänzung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de