Komplement (Mengenlehre)

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In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement und das absolute Komplement.

Relatives Komplement

Definition

Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.

Sind und Mengen, dann ist das relative Komplement, auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt, die Menge genau der Elemente aus , welche nicht in enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

$B\setminus A:=\left\{x\in B\mid x\not \in A\right\}$

und man sagt „ ohne “ oder „relatives Komplement von in “. Das Komplement entspricht also der Subtraktion von Mengen. „Relativ“ heißt es deshalb, weil das Komplement einer Menge stets in Relation zu einer weiteren Menge angegeben wird.

Das relative Komplement kann auch so definiert werden, dass eine Teilmenge von sein soll. Grund hierfür ist, dass für die Definition des Komplements nur diejenigen Elemente in von Relevanz sind, die gleichzeitig auch Elemente in sind. Die Definitionen sind insofern äquivalent, als dass für beliebige Mengen und stets $B\setminus A=B\setminus (A\cap B)$ gilt, d. h. es gibt mit $A\cap B$ eine Teilmenge von , deren Komplement in dem Komplement von (welches nicht notwendigerweise Teilmenge von ist) in entspricht.

Beispiele

$\left\{1,2,3\right\}\setminus \left\{2,3\right\}=\left\{1\right\}$
$\left\{2,3,4\right\}\setminus \left\{2,3\right\}=\left\{4\right\}$
Für $\mathbb {R}$ (reelle Zahlen) und $\mathbb {Q}$ (rationale Zahlen), ist ${\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}$ die Menge der irrationalen Zahlen.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien , und Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

$C\setminus \left(A\cap B\right)=\left(C\setminus A\right)\cup \left(C\setminus B\right)$
$C\setminus \left(A\cup B\right)=\left(C\setminus A\right)\cap \left(C\setminus B\right)$
$C\setminus \left(B\setminus A\right)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
$\left(B\setminus A\right)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
$\left(B\setminus A\right)\cup C=(B\cup C)\setminus \left(A\setminus C\right)$
$A\setminus A=\emptyset$
$A\setminus \emptyset =A$

Absolutes Komplement

Definition

Das Komplement von A in U

Ist ein Universum definiert, so wird für jede Menge $A\subseteq U$ das relative Komplement von in auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von genannt und als $A^{\rm {C}}$ (manchmal auch als , oder auch als ${\bar {A}}$ , $\complement _{U}A$ bzw. $\complement A$ wenn fest ist) notiert, es ist also:

$A^{{{\rm {C}}}}=U\setminus A$

Beispiel

Ist das Universum zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das (absolute) Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist häufig der Ergebnisraum $\Omega$ als Universum gesetzt. Für ein Ereignis $A \subseteq \Omega$ ist dessen Gegenereignis ${\bar {A}}$ das Komplement von . Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses „Würfel zeigt eine 5 oder 6“ das Ereignis „Würfel zeigt eine Zahl kleiner/gleich 4“.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien und Teilmengen des Universums dann gelten folgende Identitäten:

De Morgansche Regeln:

$\left(A\cup B\right)^{{{\rm {C}}}}=A^{{{\rm {C}}}}\cap B^{{{\rm {C}}}}$
$\left(A\cap B\right)^{{{\rm {C}}}}=A^{{{\rm {C}}}}\cup B^{{{\rm {C}}}}$

Komplementgesetze:

$A\cup A^{{{\rm {C}}}}=U$
$A\cap A^{{{\rm {C}}}}=\emptyset$
$\emptyset ^{{{\rm {C}}}}=U$
$U^{{{\rm {C}}}}=\emptyset$
Ist $A\subseteq B$ , so ist $B^{{{\rm {C}}}}\subseteq A^{{{\rm {C}}}}$

Involution:

$(A^{{{\rm {C}}}})^{{{\rm {C}}}}=A$

Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:

$A\setminus B=A\cap B^{{{\rm {C}}}}$
$(A\setminus B)^{{{\rm {C}}}}=A^{{{\rm {C}}}}\cup B$

Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn eine echte nichtleere Teilmenge von ist, $\{A,A^{{{\rm {C}}}}\}$ eine Partition von ist.

Siehe auch

Dualitätsprinzip der Mengenlehre

Literatur

Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de