Diracmaß

Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein spezielles Maß in der Maßtheorie.

Definition

Es sei ein messbarer Raum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ gegeben, also eine Grundmenge $\Omega$ zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra ${\mathcal {A}}$ . Zu jedem Punkt $z\in \Omega$ wird eine zugehörige Abbildung $\delta _{z}$ definiert, die jeder Menge $A\in\mathcal{A}$ den Wert zuordnet, wenn sie enthält, und den Wert $0$ , wenn sie nicht enthält:

$\delta _{z}(A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}z\in A\ ,\\0\ ,&{\mathrm {sonst}}\ .\end{cases}}$

Die Abbildung $\delta _{z}\colon {\mathcal {A}}\to [0,1]$ ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt genannt. Wegen $\delta _{z}(\Omega )=1$ ist $\delta _{z}$ sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und $(\Omega ,{\mathcal {A}},\delta _{z})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß $\delta _{z}$ ist die Einheitsmasse im Punkt konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion $\chi$ kann man die definierende Gleichung auch durch

$\,\delta _{z}(A)=\chi _{A}(z)$

für alle $z\in \Omega$ und $A\in\mathcal{A}$ ausdrücken.

Dirac-Integral

Das Dirac-Integral der Funktion $f\colon A\to {\mathbb {R}}$ ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

$\int _{A}f{\mathrm d}\delta _{z}={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}$

Begründung

Die Abbildung $f\colon A\to {\mathbb {R}}$ sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist folgendermaßen definiert.

$\int _{A}f{\mathrm d}\delta _{z}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{A}f_{n}{\mathrm d}\delta _{z}$

$f_{n}$ ist eine beliebige Folge von einfachen Funktionen, die punktweise und monoton wachsend gegen konvergieren. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte $\alpha _{i}$ annimmt. sei die Anzahl der Funktionswerte $\alpha _{i}$ ; $A_{i}$ seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion $f_{n}$ jeweils den Wert $\alpha _{i}$ annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

$\int _{A}f_{n}{\mathrm {d}}\delta _{z}=\sum _{{i=1}}^{m}\alpha _{i}(n)\delta _{z}(A_{i}(n))$

Ist $z\notin A$ , dann ist erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen $A_{i}$ . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen $A_{i}$ gleich Null. Folglich ist das Integral über insgesamt gleich Null.

Ist $z\in A_{j}(n)$ für irgendein , so ist das Dirac-Maß von $A_{j}(n)$ gleich ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen $A_{i}(n)$ ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen $f_{n}$ ergibt sich somit:

$\int _{A}f_{n}{\mathrm {d}}\delta _{z}=\alpha _{j}(n)=f_{n}(z)$

$\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{A}f_{n}{\mathrm d}\delta _{z}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}(z)=f(z)$

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle , wenn $z\in A$ ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle $z\in \Omega$ und $A\in\mathcal{A}$ gilt

${\begin{aligned}\int \limits _{A}f\,{\mathrm d}\delta _{z}&=\int \limits _{{A\cap f^{{-1}}(\{f(z)\})}}f\,{\mathrm d}\delta _{z}+\int \limits _{{A\setminus f^{{-1}}(\{f(z)\})}}f\,{\mathrm d}\delta _{z}\\&=\int \limits _{{\{x\in A\mid f(x)=f(z)\}}}f\,{\mathrm d}\delta _{z}+\int \limits _{{\{x\in A\mid f(x)\neq f(z)\}}}f\,{\mathrm d}\delta _{z}\\&=f(z)\delta _{z}(A)+0\\&=f(z)\delta _{z}(A)\\&={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}\end{aligned}}$

Als einelementige Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist $\{f(z)\}\in {\mathcal {B}}$ . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist $f^{{-1}}(\{f(z)\})\in {\mathcal {A}}$ und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls $\{z\}\in {\mathcal {A}}$ , so ist auch eine Integration über $A\cap \{z\}$ und $A\setminus \{z\}$ möglich.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de