Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante>. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

$\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$ = 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate auf. Derzeit (Stand: 17. März 2020) sind 600.000.000.000 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Seungmin Kim und Ian Cutress berechnet.

Bezeichnung

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel $\varpi$ (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von $\pi$ , um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

$\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}$

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen $\Pi$ , und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent ${\tfrac {\varpi }{2}}$ .

Im Englischen findet sich für die Minuskel $\varpi$ auch die (irreführende) Bezeichnung pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.

Im englischen Sprachraum wird

$G=\varpi /\pi$ = 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)

als Gaußkonstante bezeichnet.

Eigenschaften

Mit der Betafunktion $\mathrm {B}$ und der Gammafunktion $\Gamma$ gilt

$\varpi ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/{\bigl (}2{\sqrt {2\pi }}{\bigr )}.$

Deswegen gilt auch das Folgende:

$\int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}$

Gauß fand die Beziehung

$\varpi =\pi /M(1,{\sqrt {2}})$

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

$\varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}$

mit Summanden der Größenordnung ${\frac {1}{k2^{k}}}$ an. Die Auswertung

$\varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}$

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung ${\frac {1}{k^{3/2}}}$ sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

$\varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}$

mit Summanden der Größenordnung $e^{-\pi k^{2}}$ .

Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:

$\varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (\pi k)$

Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:

$\varpi =2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)}}={\sqrt {2}}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}}$

Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:

$\varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}$

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante $\gamma$ her:

$\log \varpi ={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}\,.$

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von $\varpi$ . Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass $\Gamma (1/4)$ und somit auch $\varpi$ algebraisch unabhängig von $\pi$ ist.

Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:

$\varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=$

$=8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]$

Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:

$\varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=$

$={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.

Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}$ $\int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{4})^{3/4}}}\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}$ $\int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{3/4}}}\mathrm {d} x=\varpi$

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)}}\mathrm {d} x=\varpi$ $\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\operatorname {sec} (x)}}\mathrm {d} x=\varpi$

Das Produkt folgender zwei Integrale lässt sich mit der Produktregel und dem Satz von Fubini auf folgende Weise umformen:

${\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}$

Daraus folgt:

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\varpi }}$

Aus diesem Integral lassen sich folgende Integrale herleiten:

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{(x^{4}+1)^{3/2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}\varpi }}$ $\int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{1/4}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}$

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)^{3}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}$

Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt außerdem folgendes Integral:

${\frac {1}{4}}\Gamma ({\frac {3}{4}})=\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\mathrm {d} x={\frac {\sqrt[{4}]{\pi ^{3}}}{4{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\varpi }}}}$

Literatur

Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.
Carl Ludwig Siegel: Transzendente Zahlen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.
A. I. Markuschewitsch: Analytic Functions. Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov, A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2, S. 133–136.

Basierend auf einem Artikel in:

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