Integralkosinus

Graph des Integralcosinus (grün, untere Kurve) und des Integralsinus (blau, obere Kurve) für Argumente 0 ≤ x ≤ 8π

Der Integralkosinus ist eine Funktion, in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.

Der Integralkosinus ist definiert als:

${\rm {Ci}}(x):=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt\quad =-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt$

Dabei ist $\gamma =0{,}577215...$ die Euler-Mascheroni-Konstante

Eigenschaften

Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit $\operatorname {Cin}$ bezeichnet:

$\operatorname {Cin} (x):=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt$

mit der Beziehung:

$\operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)\,$

Analog zur Ableitung des Integralsinus Si(x):

$\operatorname {Si} '(x)={\frac {\sin x}{x}}$

gilt:

$\operatorname {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}$

Analog der komplexen Eulerformel-Definition des Cosinus

$\cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)$

gilt mit der Integralexponentialfunktion $\operatorname {Ei}$

$\operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (\mathrm {i} \ x)+\operatorname {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)$ .

Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben:

$\operatorname {Ci} \left(x\right)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}-\cdots \quad =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}}$ .

Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.

Eng verwandt ist der Integralsinus $\operatorname {Si} (x)$ , der zusammen mit dem Integralcosinus $\operatorname {Ci} (x)$ in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

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