Residuell endliche Gruppe

Residuell endliche Gruppen sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um (unendliche) Gruppen, die in gewisser Weise durch endliche Gruppen approximiert werden können.

Definition

Eine Gruppe G heißt residuell endlich, wenn es zu jedem vom neutralen Element e_{G} verschiedenen Element g\in G eine Untergruppe von endlichem Index

H\subset G mit g\not\in H

gibt. Mit anderen Worten

\bigcap_{\left[G\colon H\right]<\infty} H=\left\{e_G\right\},

d.h. der Durchschnitt aller Untergruppen von endlichem Index besteht nur aus dem neutralen Element.

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass es zu jedem vom neutralen Element verschiedenen Element g\in G einen Homomorphismus \phi\colon G\to K in eine endliche Gruppe K mit \phi(g)\not=e_K geben soll.

Beispiele

Nach dem Satz von Malcev ist jede endlich erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,R) residuell endlich, für jeden kommutativen Ring R mit Eins.

Aus diesem Kriterium ergeben sich zahlreiche Beispiele residuell endlicher Gruppen:

Endlich erzeugte polyzyklische und nilpotente Gruppen sind residuell endlich.

Fundamentalgruppen kompakter 3-Mannigfaltigkeiten sind residuell endlich, obwohl im Allgemeinen nicht bekannt ist, ob sie zu Untergruppen von GL(n,K) isomorph sind.

Weiterhin gilt:

Die Baumslag-Solitar-Gruppen sind nicht residuell endlich.

Es ist eine offene Frage, ob es hyperbolische Gruppen gibt, die nicht residuell endlich sind.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften einer Gruppe sind äquivalent:

Topologische Interpretation

Die Fundamentalgruppe \pi _{1}X eines CW-Komplexes X ist genau dann residuell endlich, wenn es zu jeder kompakten Teilmenge K\subset \widetilde{X} der universellen Ũberlagerung P\colon\widetilde{X}\to X eine endliche Überlagerung p\colon Y\to X gibt, so dass

p^{-1}P(K)\to Y

eine Einbettung ist.

Dieses Kriterium kann in verschiedenen Situationen benutzt werden, um zu überprüfen, dass sich Immersionen zu Einbettungen in einer endlichen Ũberlagerung hochheben lassen. Es wird beispielsweise in Arbeiten zur Virtuell Haken-Vermutung und im Beweis der Taubes-Vermutung von Friedl-Vidussi verwendet.

Bedeutung in der algebraischen Geometrie

Es sei X ein Schema endlichen Typs über {\displaystyle \mathbb {C} }. Dann ist der Homomorphismus

\pi_1^{top}(X)\to \pi_1^{et}(X)

genau dann injektiv, wenn \pi_1^{top}(X) residuell endlich ist.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.02. 2022