Flächengruppe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden die Fundamentalgruppen geschlossener, orientierbarer Flächen als Flächengruppen (engl.: surface groups) bezeichnet.

Definition

Sei $g\geq 1$ eine natürliche Zahl und $S_{g}$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$ .

$g=1$ : Torus
$g=2$ : Doppeltorus
$g=3$ Brezelfläche^[1]

Die Fundamentalgruppen $\pi _{1}S_{g}$ werden als Flächengruppen bezeichnet.

Präsentierung

Die Flächengruppe $\pi _{1}S_{g}$ hat die Präsentierung

$\pi _{1}S_{g}=\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[a_{i},b_{i}\right]=1\rangle$ .

Zum Beispiel ist $\pi _{1}S_{1}=\mathbb {Z} ^{2}$ .

Hyperbolizität

Mit Ausnahme von $\pi _{1}S_{1}=\mathbb {Z} ^{2}$ sind alle Flächengruppen hyperbolisch. Max Dehn benutzte hyperbolische Geometrie, um das Wortproblem für Flächengruppen zu lösen.^[2] Diese Arbeit gilt als Vorläufer für die in den 1980er Jahren von Gromow entwickelte Theorie der hyperbolischen Gruppen.

Flächengruppen sind – wie alle hyperbolischen Gruppen – automatische Gruppen, ihr Wortproblem lässt sich also in quadratischer Zeit lösen.

Darstellungen (Höhere Teichmüllertheorie)

Die Theorie der Darstellungen von Flächengruppen $\pi _{1}S_{g}$ in Lie-Gruppen $G$ wird als Höhere Teichmüller-Theorie bezeichnet. Klassische Teichmüller-Theorie ist der Spezialfall $G=PSL(2,\mathbb {R} )$ , in diesem Fall vermittelt die Holonomie eine Bijektion zwischen dem Teichmüller-Raum und einer Zusammenhangskomponente von $Rep(\pi _{1}S_{g},G):=Hom(\pi _{1}S_{g},PSL(2,\mathbb {R} ))/conj.$ .

Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät

Im Folgenden bezeichnet $Hom(\pi _{1}S_{g},G)$ die Darstellungsvarietät, deren Zusammenhangskomponenten – für zusammenhängende Lie-Gruppen $G$ – den Zusammenhangskomponenten von $Rep(\pi _{1}S_{g})$ entsprechen.

Für kompakte, zusammenhängende Gruppen $G$ entsprechen die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät den Elementen von > $\pi _{1}G$ .^[3]
Für $G=PSL(2,\mathbb {R} )$ werden die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät durch die Werte der Euler-Klasse $e$ klassifiziert. Weil nach der Milnor-Wood-Ungleichung die Euler-Klasse genau die ganzzahligen Werte im Intervall $\left[\chi (S_{g}),-\chi (S_{g})\right]$ annehmen kann, hat die Darstellungsvarietät $4g-3$ Zusammenhangskomponenten. Eine Darstellung ist treu mit diskretem Bild genau dann, wenn $\mid e\mid =\chi (S_{g})$ .^[4]
Für $G=SL(2,\mathbb {R} )$ hat die Darstellungsvarietät $2^{2g+1}+2g-3$ Zusammenhangskomponenten.
Für $G=PSL(2,\mathbb {C} )$ oder $G=SO(3)$ werden die Zusammenhangskomponenten von $Rep(\pi _{1}S_{g},G)$ durch die Werte der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse $w_{2}$ klassifiziert, die Darstellungsvarietät hat zwei Zusammenhangskomponenten.
Für $G=SL(2,\mathbb {C} )$ oder $G=SU(2)$ ist die Darstellungsvarietät zusammenhängend.
Für $G=PSL(n,\mathbb {R} )$ mit $n\geq 3$ hat die Darstellungsvarietät 3 Komponenten, falls $n$ ungerade ist, und 6 Komponenten, falls $n$ gerade ist. Der Beweis benutzt die Theorie der Higgs-Bündel.^[5]

Literatur

Heiner Zieschang, Elmar Vogt, Hans-Dieter Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 122). Springer, Berlin u. a. 1970.

Einzelnachweise

↑ Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 61.
↑ Max Dehn: Über unendliche diskontinuierliche Gruppen. In: Mathematische Annalen. Bd. 71, 1912, S. 116–144 ( Göttinger Digitalisierungszentrum).
↑ Michael F. Atiyah, Raoul Bott: The Yang-Mills equations over Riemann surfaces. In: Philosophical Transactions of the Royal Society. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Bd. 305, Nr. 1505, 1983, S. 523–615, doi: 10.1098/rsta.1983.0017.
↑ William Mark Goldman: Discontinuous groups and the Euler class. University of California, Berkeley CA 1980 (Thesis (Ph. D. in Mathematics)).
↑ Nigel J. Hitchin: Lie Groups and Teichmüller space. In: Topology. Bd. 31, Nr. 3, 1992, 449–473, doi: 10.1016/0040-9383(92)90044-I.

Basierend auf einem Artikel in:

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