Monotone Zahlenfolge

Eine monotone Zahlenfolge ist eine spezielle Folge, bei der Anforderungen an das Wachstumsverhalten der Folge gestellt werden. Werden die Folgeglieder immer größer, so heißt die Folge eine monoton wachsende Folge oder monoton steigende Folge, werden sie immer kleiner, so heißt sie eine monoton fallende Folge. Eine Verschärfung der Anforderungen liefert dann den Begriff der streng monoton wachsenden Folge und streng monoton fallende Folge. Die Monotonie einer Folge ist ein wichtiges Mittel, um die Konvergenz von Folgen zu zeigen und lässt sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Ist eine Folge reeller Zahlen $(a_{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$ gegeben, so heißt diese Folge

Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt, dass $a_{{n+1}}\geq a_{n}$ .
Streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt, dass $a_{{n+1}}>a_{n}$ .
Monoton fallend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt, dass $a_{{n+1}}\leq a_{n}$ .
Streng monoton fallend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt, dass $a_{{n+1}}<a_{n}$ .
Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.
Streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Beispiele

Die Folge $(a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }}=\left((-1)^{k}\right)_{{k\in \mathbb{N} }}=(-1,1,-1,1,-1,1,\dotsc )$ ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
Die Folge $(a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }}=\left({\tfrac {1}{k}}\right)_{{k\in \mathbb{N} }}=(1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dotsc )$ ist streng monoton fallend, denn bildet man die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenwerte $a_{k}-a_{{k-1}}={\tfrac {1}{k(k-1)}}$ , so ist diese immer echt positiv, demnach ist $a_{k}>a_{{k+1}}$ . Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
Die Folge $(a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }}=\left(-{\tfrac {1}{k}}\right)_{{k\in \mathbb{N} }}$ ist streng monoton wachsend. Die Argumentation funktioniert genau wie oben, aber mit umgedrehtem Vorzeichen.
Eine Folge, die monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend ist, lässt sich mittels der Gaußklammer definieren als $(a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }}=\left(\lfloor {\tfrac {k}{2}}\rfloor \right)_{{k\in \mathbb{N} }}=(0,1,1,2,2,3,3,\dotsc )$ . Da hier bereits einmal ein Wert doppelt angenommen wird, kann die Folge nicht mehr streng monoton sein. Trotzdem ist sie monoton wachsend und damit auch monoton.

Eigenschaften

Eine Folge ist genau dann konstant, wenn sie zugleich monoton wachsend und monoton fallend ist,
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Dies zeigt man mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß. Ist $A:=\{a_{i}\,|\,i\in \mathbb{N} \}$ und ist die beschränkte Folge monoton fallend, so konvergiert sie gegen $\inf A$ , ist sie monoton wachsend, so konvergiert sie gegen $\sup A$ . Dies liefert das Monotoniekriterium für Folgen und Reihen. Ebenso liefert dies die Existenz von Grenzwerten für unendliche Kettenbrüche.
Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.
Eine monotone Folge lässt sich auch über eine monotone Abbildung definieren. Dazu betrachtet man die beiden geordneten Mengen $(\mathbb{N} ,\leq )$ und $(\mathbb{R} ,\leq )$ . Dann ist die Folge $(a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }}$ genau dann monoton wachsend (fallend), wenn die Abbildung $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ definiert durch $f(k)=a_{k}$ monoton wachsend (fallend) ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de