Teilerfunktion

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet. Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben $\sigma$ bezeichnet.

Definition

Für eine natürliche Zahl ist:

$\!\ \sigma _{k}(n)=\sum _{{d|n}}d^{k}$ .

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von .

Eigenschaften

$\sigma _{k}$ ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde gilt: $\sigma _{k}(n\cdot m)=\sigma _{k}(n)\cdot \sigma _{k}(m)$ .
Hat die Primfaktorzerlegung , so ist
- $\sigma _{k}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{e_{i}}}{p_{i}^{{jk}}}$ ,
- $\sigma _{k}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}{\frac {p_{i}^{{k(e_{i}+1)}}-1}{p_{i}^{k}-1}}$ für .

Spezialisierungen

$\sigma_0$ ist die Teileranzahlfunktion,
$\sigma _{1}$ ist die Teilersumme.

Basierend auf einem Artikel in:

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