Teilersumme

Unter der Teilersumme $\sigma$ einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also $1+2+3+6=12$ .

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z.B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Seien $t_{1},t_{2},...,t_{k}$ alle Teiler der natürlichen Zahl , dann nennt man $\sigma (n)=t_{1}+t_{2}+...+t_{k}$ die Teilersumme von . Dabei sind 1 und selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion $\sigma$ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

$\sigma (6)=1+2+3+6=12$

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl ist die Summe der Teiler von ohne die Zahl selbst und wir bezeichnen diese Summe mit $\sigma ^{*}(n)$ .

Beispiel:

$\sigma ^{*}(6)=1+2+3=6$

Offensichtlich gilt die Beziehung:

$\sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)$

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl n>1 heißt

defizient oder teilerarm, wenn $\sigma ^{*}(n)<n$ ,

abundant oder teilerreich, wenn $\sigma ^{*}(n)>n$ ,

vollkommen, wenn $\sigma ^{*}(n)=n$ .

Beispiele:

$\sigma ^{*}(6)=1+2+3=6$ , d.h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

$\sigma ^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12$ , d.h. 12 ist abundant.

$\sigma ^{*}(10)=1+2+5=8<10$ , d.h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Sei eine Primzahl. Dann gilt:

$\sigma (n)=n+1$

Beweis: Da eine Primzahl ist, sind 1 und die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei eine Primzahl. Dann gilt:

$\sigma (n^{k})={\frac {n^{{k+1}}-1}{n-1}}$

Beweis: Da eine Primzahl ist, hat $n^{k}$ nur die folgenden Teiler: $n^{0},n^{1},\ldots ,n^{k}$ . Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

$\sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15$

$\sigma (8)=1+2+4+8=15$

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien und verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

$\sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$

Beweis: Die Zahl besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, , und . Daraus folgt:

$\sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$

Beispiel:

$\sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24$

$\sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24$

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3

Seien $p_{1},p_{2},...,p_{r}$ verschiedene Primzahlen und $k_{1},k_{2},...,k_{r}$ natürliche Zahlen. Ferner sei $n=p_{1}^{{k_{1}}}\cdot p_{2}^{{k_{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{{k_{r}}}$ . Dann gilt:

$\sigma (n)={\frac {p_{1}^{{k_{1}+1}}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{r}^{{k_{r}+1}}-1}{p_{r}-1}}$

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl seien $x=3\cdot 2^{n}-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1$ und $z=9\cdot 2^{2n-1}-1$ .

Wenn , und Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen $a=2^{n}xy$ und $b=2^{n}z$ befreundet, d.h. $\sigma ^{*}(a)=b$ und $\sigma ^{*}(b)=a$ .

Beweis: ${\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}$

Analog zeigt man $\sigma ^{*}(b)=a$ .

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von explizit Bezug genommen wird:

$\sigma (n)=\sum _{{\mu =1}}^{n}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}$

Beweis: Die Funktion

$T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots$

wird 1, wenn $\mu$ ein Teiler von ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

$T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\lim _{{x\to n}}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu x}{\mu }}=\lim _{{x\to n}}{\frac {1}{2\mu }}\left(\sin 2\pi x\cot {\frac {\pi x}{\mu }}-1+\cos 2\pi x\right)=\lim _{{x\to n}}{\frac {\sin 2\pi x\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}{2\mu \sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}$

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn $x\to n$ geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn $\mu$ ein Teiler von ist. Dann ist aber

$\lim _{{x\to n}}{\frac {\sin 2\pi x\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}{2\sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}=\cos {\frac {\pi n}{\mu }}\lim _{{x\to n}}{\frac {\sin 2\pi x}{2\sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\cos {\frac {\pi n}{\mu }}\lim _{{x\to n}}{\frac {2\pi \cos 2\pi x}{2{\frac {\pi }{\mu }}\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\mu$

Nur in diesem Fall wird $T(n,\mu )=1$ , wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt $T(n,\mu )$ mit $\mu ^{k}$ und summiert das Produkt über alle Werte $\mu =1$ bis $\mu =n$ , so entsteht nur dann ein Beitrag $\mu ^{k}$ zur Summe, wenn $\mu$ ein Teiler von ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

$\sigma _{k}(n)=\sum _{{\mu =1}}^{n}\mu ^{{k-1}}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots$

deren Spezialfall k=1 die einfache Teilersumme $\sigma (n)$ ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de