K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R}$ abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf $\mathbb {R} ^{n}$ verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Gegeben sei eine Funktion $f\colon D \to \R$ mit $D\subset \mathbb{R} ^{n}$ und ein echter Kegel im $\mathbb {R} ^{n}$ sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung $\prec _{K}$ . Dann heißt die Funktion

K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)\leq f(y)$ ist.
K-monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)\geq f(y)$ ist.
strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D,\,x\neq y$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass ist.
strikt K-monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D,\,x\neq y$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass ist.
strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele

Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K=\mathbb{R} _{+}=[0,\infty )$ .
Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K=\mathbb{R} _{-}=(-\infty ,0]$ . Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
Sind die Funktionen $f_{i}(x_{i})$ monoton wachsend, so ist die Funktion

$f(x)=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{n}(x_{n})$

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten $\mathbb {R} ^{n}$ . Dies folgt direkt aus der Monotonie der $f_{i}$ .

Eigenschaften

Sei $h:\mathbb{R} ^{n}\supset D\to R$ differenzierbar und eine konvexe Menge sowie $K^{D}$ der duale Kegel des Kegels . Dann gilt:

ist K-monoton wachsend auf genau dann, wenn $\nabla h(x)\succcurlyeq _{{K^{D}}}0$ für alle $x \in D$ .
ist K-monoton fallend auf genau dann, wenn $\nabla h(x)\preccurlyeq _{{K^{D}}}0$ für alle $x \in D$ .
Wenn $\nabla h(x)\succ _{{K^{D}}}0$ für alle $x \in D$ gilt, dann ist strikt K-monoton wachsend auf .
Wenn $\nabla h(x)\prec _{{K^{D}}}0$ für alle $x \in D$ gilt, dann ist strikt K-monoton fallend auf .

Matrix-monotone Funktionen

Wählt man als Vektorraum anstelle des $\mathbb {R} ^{n}$ den $S^{n}$ (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen $h\colon S^{n}\to \mathbb {R}$ Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen $S_{{+}}^{n}$ , was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante $\det \colon S^{n}\to \mathbb {R}$ strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel $S_{{++}}^{n}$ der positiv definiten Matrizen.

Verwendung

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de