K-konvexe Funktion

Eine K-konvexe Funktion ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexität einer Funktion auf reell-vektorwertige Funktionen. Dazu wird die strikte Ordnung auf $\mathbb {R}$ abgeschwächt und es wird mit Halbordnungen auf $\mathbb {R} ^{m}$ gearbeitet, den sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen.

Definition

Gegeben sei ein abgeschlossener, spitzer und konvexer Kegel $K\subset \mathbb {R} ^{m}$ mit nichtleerem Inneren und $\preccurlyeq _{K}$ bzw. $\prec _{K}$ die von diesem Kegel induzierte Halbordnung bzw. strikte Halbordnung. Des Weiteren sei eine konvexe Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ . Die Funktion

$f\colon D\to \mathbb {R} ^{m}$

heißt K-konvex auf der Menge genau dann, wenn

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\preccurlyeq _{K}\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

gilt für alle $\lambda \in [0,1]$ und alle $x,y\in D$ . Die Funktion heißt strikt K-konvex auf der Menge , wenn

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\prec _{K}\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

für alle $\lambda \in (0,1)$ und alle $x\neq y$ in gilt.

Beispiele und Eigenschaften

Setzt man $m=1$ , ist die Funktion also reellwertig, und wählt als Kegel die Menge $K=\{x\geq 0\}$ , so sind die K-konvexen Funktionen genau die konvexen Funktionen. Dies liegt daran, dass die von dem Kegel induzierte Ordnung die gewöhnliche Ordnung auf den reellen Zahlen ist.
Wählt man hingegen als Kegel die Menge $K=\{x\leq 0\}$ , so sind die K-konvexen Funktionen genau die konkaven Funktionen, da der Kegel die Ordnung auf den reellen Zahlen umkehrt.
Ist der Kegel die Menge

$K=\{x\in \mathbb {R} ^{m}\,|\,x_{i}\geq 0\,{\text{ für alle }}\,i=1,\dots ,n\}$ , so ist die induzierte allgemeine Ungleichung das komponentenweise kleinergleich. Die K-konvexen Funktionen sind dann die Funktionen, deren Komponenten alle konvex sind.

Affine Funktionen sind immer K-Konvex, unabhängig vom verwendeten Kegel. Dies folgt direkt aus der Linearität der Funktion und der Reflexivität der verallgemeinerten Ungleichung.
Die Subniveaumenge einer K-konvexen Funktion ist eine konvexe Menge.
Eine Funktion ist genau dann K-konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Der Epigraph wird in diesem Fall mittels der verallgemeinerten Ungleichung und nicht mit dem herkömmlichen kleinergleich definiert.

Alternative Charakterisierungen

Über Dualität

Die K-Konvexität einer Funktion lässt sich auch gut mittels der von dem zu dualen Kegel $K^{*}$ induzierten Halbordnung beschreiben. Eine Funktion ist genau dann (strikt) K-konvex, wenn für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor mit $0\preccurlyeq _{K^{*}}v$ gilt, dass $v^{T}f$ (strikt) konvex im herkömmlichen Sinne ist.

Für differenzierbare Funktionen

Ist eine differenzierbare Funktion, so ist diese genau dann K-konvex, wenn

$f(x)+Df(x)(y-x)\preccurlyeq _{K}f(y)$ für alle x,y

. Hierbei ist die Jacobi-Matrix.

Verkettungen von K-konvexen Funktionen

Die Kompositionen von K-konvexen Funktionen sind unter gewissen Umständen wieder konvex.

Ist $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ K-konvex und $h\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ konvex und ist die erweiterte Funktion ${\tilde {h}}$ K-monoton wachsend, so ist $h(g(x))$ konvex. Insbesondere müssen die beiden Kegel, welche die K-Konvexität und die K-Monotonie definieren, übereinstimmen.

Matrix-konvexe Funktionen

Betrachtet man Abbildungen vom $\mathbb {R} ^{n}$ in den Raum der symmetrischen reellen Matrizen $S^{n}$ , versehen mit der Loewner-Halbordnung $\succcurlyeq _{S_{+}^{n}}$ , so heißen die entsprechenden K-konvexen Funktionen auch Matrix-konvexe Funktionen. Eine äquivalente Charakterisierung der Matrix-Konvexität ist, dass die Funktion $g(x)=z^{T}f(x)z$ konvex ist für alle $z\in \mathbb {R} ^{n}$ genau dann, wenn f(x) Matrix-konvex ist.

Beispielsweise ist die Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n\times m}\to S^{n}$ , definiert durch $f(X)=X\cdot X^{T}$ , matrix-konvex, weil $z^{T}XXz=\Vert X^{T}z\Vert _{2}^{2}$ konvex ist wegen der Konvexität der Norm.

Verwendung

K-konvexe Funktionen werden beispielsweise bei der Formulierung von konischen Programmen oder Verallgemeinerungen der Lagrange-Dualität verwendet.

Verallgemeinerungen

Teilweise werden auch Abbildungen $f\colon V_1 \mapsto V_2$ zwischen zwei reellen Vektorräumen betrachtet und $V_{2}$ nur mit einem Ordnungskegel versehen, nicht mit einer verallgemeinerten Ungleichung. An die Abbildung wird die Forderung

$\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)-f(\lambda x+(1-\lambda )y)\in K$

für alle $\lambda \in [0,1]$ und x,y aus der konvexen Menge gestellt. Dann wird die Abbildung wieder eine konvexe Abbildung genannt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de