Konvexe Abbildung

Eine konvexe Abbildung ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung einer konvexen Funktion auf allgemeine geordnete Vektorräume. Sie enthält einige unterschiedliche Klassen von konvexen Funktionen als Spezialfälle.

Definition

Gegeben seien zwei reelle Vektorräume V_{1},V_{2} sowie eine konvexe Menge M\subset V_{1} und ein Ordnungskegel K auf V_{2}. Dann heißt eine Abbildung {\displaystyle f\colon M\to V_{2}} konvex auf der Menge  M genau dann, wenn

\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)-f(\lambda x+(1-\lambda )y)\in K

ist für alle x,y\in M und  \lambda \in [0,1] .

Beispiele

{\displaystyle \lambda l(x)+(1-\lambda )l(y)-l(\lambda x+(1-\lambda )y)=0}.
Da ein Ordnungskegel aber immer die Null enthält, ist jede lineare Abbildung konvex.

Eigenschaften

{\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}(c):=\{x\in M\mid c-f(x)\in K\}}
sind konvex. Dies folgt aus der Konvexität des Ordnungskegels.

Verwendung

Abgesehen von den vielfältigen Anwendungen der oben aufgeführten Spezialfälle einer konvexen Abbildung werden konvexe Abbildungen zum Beispiel in der konvexen Optimierung in unendlichdimensionalen Räumen genutzt, um Restriktionsmengen zu modellieren. Aufgrund der Konvexität der Subniveaumengen sind diese Restriktionsmengen konvex und garantieren damit bei konvexen Zielfunktionalen, dass jedes lokale Optimum ein globales Optimum ist.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung einer konvexen Abbildung sind die fast-konvexen Funktionen. Bei ihnen wird lediglich gefordert, dass eine gewisse Menge oberhalb ihres Graphen konvex ist. Jede konvexe Abbildung ist fast-konvex.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.04. 2020