Elementargebiet

Ein Gebiet $D\subseteq {\mathbb {C}}$ heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet :

ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass keine Löcher hat.

ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in .

ist konform äquivalent zu ganz $\mathbb {C}$ oder zur Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$ , das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von zu $\mathbb {C}$ oder zu $\mathbb {E}$ , vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Eigenschaften

Sind und Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch $A \cup B$ ein Elementargebiet.
Ist $(A_{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}$ eine Folge von Elementargebieten, für die $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots$ gilt, so ist auch $\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

$\mathbb {C}$ und $\mathbb {E}$
jedes Sterngebiet
die geschlitzte Ebene $\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}$

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

${\mathbb {C}}\setminus \{0\}$

Literatur

Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de