Summenregel

Die Summenregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

Regel

Die Funktionen und seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle $x_{0}$ enthält. An dieser Stelle $x_{0}$ seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion mit

$f(x)=g(x)\,+h(x)$

an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, und es gilt

$f'(x_{0})=g'(x_{0})+h'(x_{0})\,$ .

Beispiel

Die Funktionen

$\ g(x)=x^{4}$

$\ h(x)=x^{3}$

sind auf $\mathbb {R}$ differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

$\ g'(x)=4x^{3}$

$\ h'(x)=3x^{2}$ .

Daher ist auch die Funktion

$\ f(x)=g(x)+h(x)=x^{4}+x^{3}$

auf $\mathbb {R}$ differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

$\ f'(x)=g'(x)+h'(x)=4x^{3}+3x^{2}$ .

Folgerungen

Differenzregel: Betrachtet man die Differenz für Funktionen und , die in $x_{0}$ differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass in $x_{0}$ differenzierbar ist und für die Ableitung gilt.
Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind $g_{1},\ldots ,g_{n}$ in $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ differenzierbare Funktionen und $c_{1},\ldots ,c_{n}\in {\mathbb {R}}$ reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination $f(x):=\sum _{{i=1}}^{n}c_{i}g_{i}(x)$ wiederum in $x_{0}$ differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion

$f'(x_{0})=\left(\sum _{{i=1}}^{n}c_{i}g_{i}\right)'(x_{0})=\sum _{{i=1}}^{n}c_{i}{g_{i}}'(x_{0})$ .

Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de