Einbettungssatz von Whitney

Der Einbettungssatz von Whitney ist ein grundlegendes Theorem in der Differentialgeometrie. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney bewiesen. Der Satz besagt, dass jede -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung in $\mathbb {R} ^{2n}$ besitzt.

Erläuterungen

Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt.

Man beachte, dass der Satz nur gilt, wenn man der (sehr üblichen) Definition folgt, dass eine Mannigfaltigkeit immer zweitabzählbar ist. Wenn man dies nicht fordert, gibt es glatte Mannigfaltigkeiten, die sich nicht in einen Euklidischen Raum einbetten lassen, wie z.B. die Lange Gerade oder ein überabzählbarer diskreter Raum.

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit in eine andere ist eine injektive Abbildung $f\colon M\to N$ , so dass f(M) eine Untermannigfaltigkeit von ist und die Abbildung $f\colon M\to f(M)$ ein Diffeomorphismus ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

Beispiel

Ein Beispiel ist die Klein’sche Flasche, eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt (jedoch immersieren), wohl aber in den vierdimensionalen $\mathbb {R} ^{4}$ .

Das Beispiel der Einbettung des Torus in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension. Aber das Resultat von Whitney ist scharf in dem Sinn, dass es für jedes n=2^k eine -dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, die in den -dimensionalen Raum, aber nicht in den (2n-1) -dimensionalen Raum eingebettet werden kann.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de