Reproduktivitätseigenschaft

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

Beispiel

Die Zufallsvariablen $X_{{1}}$ und $X_{{2}}$ seien unabhängig und normalverteilt als

$X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1};\sigma _{1}^{2})\quad {\text{und}}\quad X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ .

Die Zufallsvariable $Y=X_{1}+X_{2}$ ist dann ebenfalls normalverteilt als

$Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})$ .

Allgemein gilt: Aus $X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\quad i=1,\ldots ,k$ unabhängig folgt:

$\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\mu _{i},\sum \limits _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\right)$ .

Mehrere Parameter

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel $X_{n},X_{m}$ binomialverteilt mit Parametern n,m und , also $X_{n}\sim B_{{n,p}}$ und $X_{m}\sim B_{{m,p}}$ , so ist $(X_{n}+X_{m})\sim B_{{n+m,p}}$ . Für fixiertes ist also die Binomialverteilung $B_{{n,p}}$ reproduktiv bezüglich . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Basierend auf einem Artikel in:

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