Wedge-Produkt (Topologie)

Wedge-Produkt zweier Kreise

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) $X\vee Y$ zweier punktierter topologischer Räume und bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

$X\vee Y = (X\coprod Y)/(pt\coprod pt)$

Hierbei bezeichnet den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

$\bigvee_{i\in I}X_i = (\coprod_{i\in I}X_i)/(\coprod_{i\in I} pt_i)$

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal-kontrahierbare Räume $X_{i}$

$\pi_1(\bigvee_{i\in I}X_i) = *_{i\in I} \pi_1(X_i),$

wobei das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

$H_n(\bigvee_{i\in I}X_i,pt) = \bigoplus_{i\in I} H_n(X_i, pt)$

Man kann das Wedge-Produkt $X\vee Y$ auf naheliegende Weise in das Produkt $X\times Y$ einbetten, der Quotient

$X\wedge Y:= X\times Y/X\vee Y$

ist das Smash-Produkt.

Insbesondere ist $\Sigma X:=S^1\wedge X$ die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.

Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.

Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de