Unendliche Menge
Unendliche Menge ist ein Begriff aus der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik. Schon die Verwendung der negierenden Vorsilbe un legt folgende Definition nahe:
- Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich ist.
Mit Hilfe der Definition der endlichen Menge lässt sich das wie folgt umformulieren:
- Eine Menge ist unendlich, wenn es keine natürliche Zahl
gibt, so dass die Menge gleichmächtig zu
ist (für
ist das die leere Menge),
mit dem von-Neumannschen Modell der natürlichen Zahlen noch kompakter als
- eine Menge ist unendlich, wenn sie nicht gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl (gemäß ihrer von-Neumannschen Darstellung) ist.
Beispiele für unendliche Mengen sind die Menge der natürlichen
Zahlen
oder die Menge
der reellen Zahlen.
Dedekind-Unendlichkeit
Auf Richard Dedekind geht die folgende Definition einer unendlichen Menge zurück:
- Eine Menge heißt unendlich, falls sie zu einer echten Teilmenge gleichmächtig ist.
Genauer spricht man in diesem Fall von Dedekind-Unendlichkeit. Der Vorteil
dieser Definition ist, dass sie keinen Bezug auf die natürlichen Zahlen
nimmt. Die Äquivalenz zur eingangs definierten Unendlichkeit erfordert
allerdings das Auswahlaxiom.
Dass Dedekind-unendliche Mengen unendlich sind, ist klar, da keine endliche
Menge zu einer echten Teilmenge gleichmächtig sein kann. Ist umgekehrt
eine unendliche Menge, so wähle man mit Hilfe des Auswahlaxioms rekursiv
Elemente
Da
unendlich ist, kann niemals
sein, weshalb die Wahl von
stets möglich ist. Die Abbildung
zeigt dann, dass
zur echten Teilmenge
gleichmächtig und daher Dedekind-unendlich ist.
Ohne eine zumindest schwache Version des Auswahlaxioms (i.d.R. das abzählbare Auswahlaxiom) kann man nicht zeigen, dass unendliche Mengen auch Dedekind-unendlich sind.
Existenz unendlicher Mengen
In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das heißt in der üblichen, von den meisten Mathematikern akzeptierten Grundlage der Mathematik, ist die Existenz unendlicher Mengen durch ein Axiom, dem sogenannten Unendlichkeitsaxiom, gefordert. In der Tat kann man die Existenz unendlicher Mengen nicht aus den übrigen Axiomen schließen. Dieses Unendlichkeitsaxiom wird von manchen Mathematikern, sogenannten Konstruktivisten, kritisiert, da die Existenz unendlicher Mengen nicht aus logischen Axiomen beweisbar ist. Daher werden unendliche Mengen auch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verdächtigt, möglicherweise zu Widersprüchen zu führen, obwohl die Russellsche Antinomie dort nicht möglich ist. In der Tat kann die Widerspruchsfreiheit der Mengenlehre und damit der Mathematik nach dem auf Kurt Gödel zurückgehenden Unvollständigkeitssatz nicht bewiesen werden.
Unterschiedliche Mächtigkeiten unendlicher Mengen
Die Mächtigkeiten endlicher Mengen sind die natürlichen Zahlen; schwieriger und interessanter ist die Idee, den Begriff der Mächtigkeit auch auf unendliche Mengen auszuweiten.
Der mengentheoretische Begriff
des Unendlichen wird noch interessanter, da es verschiedene Mengen gibt, die
unendlich viele Elemente besitzen, die aber nicht bijektiv aufeinander
abgebildet werden können. Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit dem
Symbol
(Aleph, dem
ersten Buchstaben des hebräischen>
Alphabets), und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet, die Indizes
durchlaufen die Ordinalzahlen.
Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen
(die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise
.
Obwohl die natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge
der rationalen
Zahlen
sind, besitzen beide Mengen
und
dieselbe Mächtigkeit
.
(→ Cantors
erstes Diagonalargument)
Die Reellen Zahlen bilden eine unendliche Menge, die mächtiger als die Menge der natürlichen und rationalen Zahlen ist; sie ist überabzählbar. Man spricht auch von der Kardinalität der überabzählbaren Mengen erster Stufe. (→ Cantors zweites Diagonalargument)
Die Kontinuumshypothese
ist die Behauptung, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen gleich ,
also die nach
nächstgrößere Mächtigkeit, ist. Sie ist allein mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre (ZFC)
weder beweisbar
noch widerlegbar.
Zu jeder unendlichen Menge lassen sich weitere Unendlichkeiten mittels
Bildung der Potenzmenge
(Menge aller Teilmengen) konstruieren. Der Satz
von Cantor sagt aus, dass die Mächtigkeit einer Potenzmenge größer als die
Mächtigkeit der Menge ist. Ob durch Potenzmengenbildung aus einer Menge mit
Mächtigkeit
eine Menge der nächstgrößeren Mächtigkeit
entsteht oder einige Größenordnungen übersprungen werden, ist ein klassisches
Problem der Mengenlehre (die verallgemeinerte Kontinuumshypothese).
Dieser Vorgang kann (formal) immer weitergeführt werden, so dass es unendlich
viele Unendlichkeiten
gibt.
Es gibt in der Mengenlehre mehrere Zahlensysteme, die unendlich große Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, Hyperreelle Zahlen und Surreale Zahlen.
Siehe auch



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.03. 2023