Analytische Menge
Analytische Mengen werden in den mathematischen Teilgebieten der Maßtheorie und der deskriptiven Mengenlehre betrachtet, es handelt sich um spezielle Teilmengen polnischer Räume. Sie sind allgemeiner als Borelmengen, haben aber noch gewisse Messbarkeitseigenschaften.
Definition
Eine Teilmenge
eines polnischen Raums
heißt analytisch, falls es einen polnischen Raum
und eine stetige Abbildung
gibt mit
.
Kurz: Analytische Mengen sind stetige Bilder polnischer Räume.
Auch die leere Menge soll analytisch sein. Daher muss man entweder die leere Menge als polnischen Raum zulassen oder die leere Menge explizit hinzunehmen.
Eigenschaften
- Abzählbare Vereinigungen und abzählbare Durchschnitte analytischer Mengen sind wieder analytisch.
- Komplemente analytischer Mengen sind im Allgemeinen nicht wieder analytisch.
- In einem polnischen Raum ist jede Borelmenge analytisch, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
- Analytische Mengen haben die Baire-Eigenschaft.
- Jede analytische Menge ist Lebesgue-messbar.
Projektionen von Borelmengen
Analytische Mengen lassen sich wie folgt als Projektionen von Borelmengen
charakterisieren. Für zwei Mengen
und
sei
die Projektion auf die zweite Komponente. Für eine Teilmenge
eines polnischen Raums sind dann folgende Aussagen äquivalent:
ist analytisch.
- Es gibt einen polnischen Raum
und eine abgeschlossene Menge
mit
.
- Es gibt einen polnischen Raum
und eine Borel-Menge
mit
.
Zum Beweis genügt es den Fall zu betrachten, dass
nicht leer ist. Ist
analytisch, so ist definitionsgemäß
für eine stetige Funktion
auf einem polnischen Raum
.
Dann ist der Graph
abgeschlossen und
,
womit der Schluss von 1. nach 2. gezeigt wäre. Da abgeschlossene Mengen
Borelmengen sind, folgt 3. aus 2. Liegt schließlich 3. vor, so gibt es einen
polnischen Raum
und eine stetige Abbildung
mit
,
denn Borelmengen sind analytisch. Dann ist
stetiges Bild eines polnischen Raums und daher analytisch.
Trennungssatz für analytische Mengen
Der folgende Trennungssatz für analytische Mengen geht auf N. N. Lusin zurück:
- Es seien
ein polnischer Raum und
zwei disjunkte analytische Mengen. Dann gibt es zwei disjunkte Borelmengen
mit
und
.
Folgerung: Eine analytische Menge
ist genau dann eine Borelmenge, wenn auch das Komplement
analytisch ist.
Zum Beweis der Folgerung sei zunächst
Borelmenge. Dann ist auch
Borelmenge und daher analytisch. Ist umgekehrt
analytisch, so wende obigen Trennungssatz auf
und
an. Wegen der Disjunktheit muss dann
sein, das heißt
ist eine Borelmenge.
Der Baire-Raum
Ein spezieller polnischer Raum ist der Baire-Raum
mit der Produkttopologie.
ist der Raum aller Folgen
natürlicher Zahlen, die Topologie wird zum Beispiel von der durch
definierten vollständigen Metrik erzeugt, wobei
der kleinste Index ist, an dem sich die beiden Folgen unterscheiden. Man kann
zeigen, dass jeder (nicht-leere) polnische Raum ein stetiges Bild von
ist. Aus der Definition der analytischen Menge ergibt sich daher
unmittelbar:
- Eine nicht-leere Teilmenge
eines polnischen Raums
ist genau dann analytisch, wenn eine stetige Abbildung
mit
gibt.
Mittels des Raumes
kann man alle analytischen Mengen eines polnischen Raums als Projektion einer
festen analytischen Menge erhalten. Es gilt folgender Satz:
- Sei
ein polnischer Raum. Dann gibt es eine analytische Teilmenge
so dass
genau die analytischen Mengen von
durchläuft.
Wendet man diesen Satz auf
an, so kann man zeigen, dass
eine analytische Menge in
ist, die keine Borelmenge ist.
Im Falle des Baire-Raums lässt sich jede analytische Menge bereits als
Projektion einer abgeschlossenen Menge im
darstellen, im Falle der reellen Zahlen und des Cantor-Raums
reichen Projektionen abzählbarer Schnitte offener Mengen im
bzw.
.
Universelle Messbarkeit
Eine Teilmenge
eines Messraums
heißt universell messbar, wenn es zu jedem endlichen Maß
auf
Mengen
gibt mit
und
.
Jede Menge aus
ist universell messbar, denn in diesem Fall kann man
wählen. Offenbar bildet die Menge aller universell messbaren Mengen eine σ-Algebra, die nach dem
gerade Gesagten die σ-Algebra
umfasst.
Polnische Räume sind in natürlicher Weise Messräume, indem man sie mit der σ-Algebra der Borelmengen versieht, und bezüglich dieses Messraums ist universelle Messbarkeit in polnischen Räumen zu verstehen. Dann gilt:
- Jede analytische Menge eines polnischen Raums ist universell messbar.
Insbesondere ist also jede analytische Menge Lebesgue-messbar. Da es analytische Mengen gibt, die keine Borelmengen sind, ist die σ-Algebra der universell messbaren Mengen im Allgemeinen echt größer als die σ-Algebra der Borelmengen.
Schnitte
Ist
eine surjektive Abbildung, so nennt man eine Abbildung
einen Schnitt von
,
falls
.
Die Existenz einer solchen Abbildung folgt leicht aus dem Auswahlaxiom, indem man
mittels Surjektivität zu jedem
ein Urbild
wählt und
setzt. Sind
und
Messräume und ist
messbar, so stellt sich die Frage, ob man einen messbaren Schnitt
finden kann.
Zur Untersuchung dieser Frage nennen wir einen Messraum
abzählbar separiert, falls es eine Folge
von Mengen aus
gibt, so dass zu je zwei verschiedenen Punkten aus
stets ein
gefunden werden kann, dass genau einen der beiden Punkte enthält. Man nennt
einen analytischen Borelraum, falls er als Messraum isomorph zu einem
Messraum
ist, wobei
eine analytische Teilmenge eines polnischen Raums
und
die σ-Algebra der Durchschnitte der Borelmengen von
mit
ist. Mit diesen Begriffen gilt folgender Satz:
- Es seien
ein analytischer Borelraum,
ein abzählbar separierter Messraum und
eine messbare Abbildung. Dann gibt es einen
-
-messbaren Schnitt von
, wobei
die σ-Algebra der bezüglich
universell messbaren Mengen sei.
Derartige Sätze spielen eine entscheidende Rolle in der Struktur- und Darstellungstheorie von Typ-I-C*-Algebren, wie im unten angegebenen Lehrbuch von W. Arveson ausgeführt wird, oder in der Disintegration von von-Neumann-Algebren, wie sie etwa in[1] zu finden ist.
Historische Bemerkung
H.
Lebesgue war in einer Veröffentlichung aus dem Jahre 1905 fälschlicherweise
der Meinung, gezeigt zu haben, dass die Projektion einer Borelmenge der Ebene
auf die
-Achse
wieder eine Borelmenge sei. M.
J. Suslin hatte 1917 den darin enthaltenen Fehler aufgedeckt, die
analytischen Mengen eingeführt und gezeigt, dass es analytische Mengen gibt, die
keine Borelmengen sind.
Literatur
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= L.M.S. Monographs. Bd. 14). Academic Press Inc., London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Kapitel 4.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.03. 2023