Proendliche Vervollständigung

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

Definition

Für eine (diskrete) Gruppe > betrachtet man das inverse System $\left\{G/\Gamma \right\}_{\Gamma }$ , wobei $\Gamma$ über alle Normalteiler $\Gamma\subset G$ von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung $\widehat{G}$ von als den inversen Limes dieses Systems

${\widehat {G}}=\varprojlim G/\Gamma$

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

Universelle Eigenschaft

Die proendliche Vervollständigung $\widehat{G}$ ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus $i\colon G\to {\widehat {G}}$ hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus $f\colon G\to H$ in eine proendliche Gruppe gibt es einen stetigen Homomorphismus ${\hat {f}}\colon {\widehat {G}}\to H$ mit $f={\hat {f}}\circ i$ .

Weitere Eigenschaften

Wenn endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index $H\subset {\widehat {G}}$ offen und ${\widehat {\widehat {G}}}={\widehat {G}}$ .
Wenn endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe

$\mathrm {Hom} ({\widehat {G}},H)=\mathrm {Hom} (G,H)$ .

Für eine Gruppe bezeichne $Q(G)$ die Menge aller endlichen Faktorgruppen von . Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen und :

${\widehat {G}}\simeq {\widehat {H}}\Longleftrightarrow Q(G)=Q(H)$ .

Beispiele

→ Hauptartikel: Proendliche Zahl

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist

${\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .

Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen :

${\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \Pi _{p}\mathbb {Z} _{p}$ .

Sei $G=\pi _{1}X$ die Fundamentalgruppe einer komplexen projektiven Varietät. Dann ist $\widehat{G}$ isomorph zur algebraischen Fundamentalgruppe von :

${\widehat {G}}\cong \pi _{1}^{alg}(X)$ .

Der natürliche Homomorphismus

$G\to {\widehat {G}}$

ist genau dann injektiv, wenn residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de