Stützhyperebene

Eine Stützhyperebene oder stützende Hyperebene ist in der Mathematik eine Hyperebene, die den Rand einer gegebenen Teilmenge des euklidischen Raums so schneidet, dass die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Im zwei- und dreidimensionalen Raum spricht man entsprechend auch von einer Stützgerade beziehungsweise einer Stützebene. Für eine konvexe Menge existiert an jedem Randpunkt eine Stützhyperebene, die im Fall von glatten konvexen Mengen sogar eindeutig ist.
Definition
Ist
eine Menge
im
-dimensionalen
euklidischen
Raum mit Rand
,
dann heißt eine Hyperebene
Stützhyperebene von
,
wenn
und
oder
gelten, wobei
und
die beiden abgeschlossenen
Halbräume
zu
sind.
Derjenige Halbraum, der die zweite Bedingung erfüllt, heißt dann
Stützhalbraum von
.
Ein Randpunkt von
,
der auf einer Stützhyperebene liegt, wird auch Stützpunkt von
genannt. Eine Stützhyperebene heißt eigentlich, wenn
ist, ansonsten uneigentlich.
Darstellung
Ist
ein Randpunkt von
und bezeichnet
das Standardskalarprodukt
im
,
dann ist die Hyperebene
mit Normalenvektor
genau dann eine Stützhyperebene von
durch den Stützpunkt
,
wenn entweder
für alle Punkte
oder
für alle
gilt. Durch Orientierung des Normalenvektors, zum Beispiel in Richtung der Menge
,
kann man sich auch auf einen der beiden Fälle beschränken.
Stützhyperebenen bei konvexen Mengen

Existenzsatz
Der folgende Existenzsatz für konvexe Mengen geht auf Hermann Minkowski (1896) zurück:
- Bei einer konvexen Teilmenge des euklidischen Raums besitzt jeder Randpunkt mindestens eine Stützhyperebene.
Das bedeutet, dass bei einer konvexen Menge
zu jedem Randpunkt
ein Vektor
existiert, sodass
für alle
gilt. Bei einer konvexen Menge sind damit alle Randpunkte Stützpunkte.
Beweis
Sei
mit
eine Folge von Punkten außerhalb des Abschlusses
von
,
die gegen den Randpunkt
konvergiert
(
).
Nach dem Trennungssatz
existiert nun durch jeden Punkt
eine Hyperebene
,
sodass
gilt. Werden nun die Vektoren
auf die Länge eins normiert,
dann ist die Folge
beschränkt und enthält damit nach dem Satz von
Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge
.
Ist
der Grenzwert
einer solchen Teilfolge (
),
dann ergibt sich
für alle .
Damit ist die Hyperebene
eine Stützhyperebene im Stützpunkt
mit zugehörigen Stützhalbraum
.
Anmerkungen

Hat die Menge
ein nichtleeres Inneres,
ist also
,
dann gilt auch die Umkehrung und
ist konvex, wenn alle Randpunkte von
Stützpunkte sind. Somit ergibt sich die folgende Charakterisierung konvexer
Mengen:
- Eine Teilmenge des euklidischen Raums mit nichtleerem Inneren ist genau dann konvex, wenn alle ihre Randpunkte Stützpunkte sind.
Die Menge
ist dabei streng
konvex, wenn jede Stützhyperebene an
genau einen Stützpunkt enthält. Bei einer streng konvexen Menge sind damit die
Stützhyperebenen zu verschiedenen Stützpunkten ebenfalls verschieden und jeder
Randpunkt der Menge ist ein Extremalpunkt.
Ein verwandtes Resultat ist der Satz
von Minkowski.
Eine Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss jedoch nicht notwendigerweise eindeutig bestimmt sein, wie das Beispiel in der nebenstehenden Abbildung zeigt. Konvexe Mengen, bei denen die Stützhyperebene durch einen gegebenen Randpunkt eindeutig ist, heißen glatt konvex. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie glatter Räume.
Verallgemeinerung
Stützhyperebenen werden allgemeiner auch in beliebigen topologischen
Vektorräumen betrachtet. Eine Stützhyperebene an eine Teilmenge
eines topologischen Vektorraums
im Randpunkt
ist dann eine reelle
Hyperebene
,
wobei
ein reelles lineares
Funktional ist, welches nicht das Nullfunktional
ist und dabei die Ungleichung
für alle
erfüllt.
Ein solches Funktional wird auch als Stützfunktional an
bezeichnet. Besitzt ein gegebener Randpunkt
eine derartige Stützhyperebene (und damit ein derartiges Stützfunktional), so
wird er als Stützpunkt der Teilmenge
bezeichnet.
Siehe auch
Literatur
- Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5.
- Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-24912-3.
- Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5910-3.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.12. 2020