Dirac-Spinor
Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik,
der nach Paul Dirac benannt ist.
Dirac-Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen
Darstellung
der komplexifizierten Clifford-Algebra
und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren.
Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.
Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, das heißt jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.
Mathematische Konstruktion
Sei .
Die komplexifizierte Clifford-Algebra
ist isomorph zur Matrizenalgebra
falls
gerade ist, oder isomorph zu
falls
ungerade ist. In jedem Fall hat sie eine kanonische
-dimensionale
Darstellung,
die also für alle Signaturen
mit
existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe
ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung,
die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren
bezeichnet.
In ungeraden Dimensionen
ist diese Darstellung, als Darstellung von
betrachtet, reduzibel. Sie kann in zwei sogenannte Weyl-Spinoren der Dimension
zerlegt werden:
.
Anwendung in der Elementarteilchenphysik
Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu ,
dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik
zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu
diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell
der Teilchenphysik
sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren
vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind
Lösungen der Dirac-Gleichung.
Majorana-Fermionen wurden dagegen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren. In Stringtheorien und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.
Literatur
- Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.02. 2021