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Generatormatrix

In der Kodierungstheorie ist eine Generatormatrix, auch Erzeugermatrix, eine matrixförmige Basis für einen linearen Code, der alle möglichen Codewörter erzeugt. Ist G eine Generatormatrix für einen linearen [n, k]-Code C dann ist jedes Codewort c von C von der Form

{\displaystyle c=wG}

für einen eindeutigen Zeilenvektor w mit k Einträgen. Mit anderen Worten: Die Abbildung {\displaystyle K^{1\times k}\rightarrow C,w\mapsto wG} ist eine Bijektion. Eine Generatormatrix für einen {\displaystyle [n,k]}-Code {\displaystyle C} hat das Format {\displaystyle k\times n}. Dabei ist n die Länge der Codewörter und k die Anzahl der Informationsbits (die Dimension von C). Die Anzahl der redundanten Bits ist r = n - k.

Die systematische Form für eine Generatormatrix ist

{\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}

wobei {\displaystyle I_{k}} eine k×k Einheitsmatrix und P von der Dimension k×r ist.

Eine Generatormatrix kann verwendet werden, um eine Kontrollmatrix für einen Code zu erzeugen (und umgekehrt).

Äquivalente Codes

Codes C1 und C2 sind äquivalent (geschrieben C1 ~ C2), wenn der eine Code aus dem anderen durch die folgenden beiden Transformationen erzeugt werden kann

  1. Komponenten vertauschen
  2. Komponenten skalieren.

Äquivalente Codes besitzen den gleichen Hamming-Abstand.

Die Generatormatrizen von äquivalenten Codes kann man über die folgenden Transformationen erzeugen:

  1. Zeilen vertauschen
  2. Zeilen skalieren
  3. Zeilen addieren
  4. Spalten vertauschen
  5. Spalten skalieren.

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.12. 2025