Fermi-Flüssigkeits-Theorie

Die Fermi-Flüssigkeits-Theorie oder auch Fermi-Landau-Flüssigkeits-Theorie (nach Enrico Fermi und Lew Landau) ist eine Theorie für schwach wechselwirkende fermionische Vielteilchensysteme, sogenannte Fermi-Flüssigkeiten. Durch die Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen untereinander, konnten zahlreiche Eigenschaften der Metalle konsistent erklärt werden, was mit Hilfe des klassischen Modells eines (nicht-wechselwirkenden) Fermigases, das sogenannte Sommerfeld-Theorie der Metalle, nicht möglich war.

Anfangs lediglich für die Beschreibung der Eigenschaften von flüssigem ³He entwickelt, wurden die zentralen Ideen zur Erklärung des Modells unabhängiger aber wechselwirkender Elektronen durch die Hartree-Fock-Methode für die Beschreibung von Metallen hinzugezogen. In einem Metall mit einer sehr großen Anzahl freier Leitungselektronen sollte die Elektronen-Elektronen-Wechselwirkung nicht mehr vernachlässigbar sein, sodass eine große Abweichung zwischen der Hartree-Fock-Theorie und dem Experiment zu erwarten ist, die jedoch nicht auftritt. Die Fermi-Landau-Flüssigkeits-Theorie kann das Fehlen dieser Abweichung mittels einfacher, aber tiefgreifender Überlegungen klären.

Grundlegendes und Voraussetzungen

Wir betrachten ein Vielteilchensystem von schwach-wechselwirkenden Fermionen. Oberflächeneffekte werden nicht berücksichtigt.

Für nicht-wechselwirkende Fermionen erhält man Blochzustände als Eigenzustände des Hamiltonian (siehe Bloch-Theorem). Da sie Eigenzustände des Hamiltonian sind, zerfallen sie nicht, sind also von unendlicher Lebensdauer. Gibt es nun Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Fermionen, so gibt es angeregte Zustände mit endlicher Lebensdauer wegen der Streuprozesse zwischen den Fermionen.
Es ergibt nur Sinn, hier noch von „Teilchen“, die wir beobachten können, zu reden, wenn diese so langlebig sind, dass sie sich nicht unserer Beobachtung entziehen können. Wir fordern also, dass die Zerfallsrate $1/\tau$ (mit der Lebenszeit $\tau$ ) hinreichend klein ist gegen die Anregungsenergie $E-E_{F}$ (mit der Fermienergie ). Daraus folgt unsere Forderung: $|E-E_{F}|\gg \hbar /\tau$ . Wir reden dann von Quasiteilchen. Anmerkung: Ist $E-E_{F}>0$ , so liegt der angeregte Zustand oberhalb der Fermikante und wir können uns im k-Raum einen besetzten Zustand außerhalb der Fermikugel vorstellen, die wir in einem nicht-wechselwirkenden fermionischen System beim absoluten Nullpunkt haben. Ist diese Anregungsenergie kleiner als null, so können wir uns ein Loch in der Fermikugel vorstellen und man müsste genau genommen von einem Quasiloch sprechen. Wir wollen uns allerdings innerhalb dieser Theorie diese Schreibarbeit sparen und sprechen stellvertretend für die Anregungen ober- und unterhalb der Fermikante stets von Quasiteilchen.
Die Wechselwirkung darf nicht singulär sein. Nun hat allerdings die Coulomb-Wechselwirkung, wie sie zwischen zwei Elektronen vorliegt, eine Singularität bei verschwindendem Abstand zwischen den Elektronen. Allerdings ist die Wechselwirkung im Vielteilchensystem abgeschirmt durch die umgebenden Ladungen, sodass diese Singularität bei uns nicht auftritt. Wir verwenden hierfür die Ergebnisse der Lindhard-Theorie. Diese ist eine Störungstheorie und baut daher auf schwachen Wechselwirkungspotentialen auf. Wir können daher nur schwach wechselwirkende Systeme beschreiben: $T\ll T_{F},|{\vec {k}}-{\vec {k}}_{F}|\ll k_{F},\hbar \omega \ll E_{F}$ .

Zentrale Aussagen

Die Zerfallsrate der Anregungen lässt sich mit Fermis Goldener Regel berechnen. Man erhält für Anregungen nahe der Fermikante bei tiefen Temperaturen folgende Abschätzung für die Zerfallsrate: $1/\tau \propto (E-\mu )^{2}+(\pi k_{\mathrm {B} }T)^{2},$ wobei $\mu$ das chemische Potential ist (bei ist $\mu =E_{F}$ ), d.h., Anregungen nahe der Fermikante bei tiefen Temperaturen zerfallen so langsam (=sind so langlebig), dass man in guter Näherung von „Teilchen“ sprechen kann. Dies wird gestützt durch folgenden Punkt:
Zwischen den Anregungen des wechselwirkenden Systems nahe der Fermikante (Quasiteilchen, keine Eigenzustände des Hamiltonian mit Wechselwirkung) und den Eigenzuständen der nicht-wechselwirkenden Systems (Fermigas) besteht eine „Eins-zu-Eins-Korrespondenz“, d.h., man kann die Zustände einander gewissermaßen zuordnen. Im Wesentlichen bedeutet dies Folgendes: Wir kennen zwar nur die exakte Lösung der Schrödingergleichung für das nicht-wechselwirkende Vielteilchensystem, das effektiv ein Einteilchensystem ist (die Vielteilchenwellenfunktion ist ein Produkt von Einteilchenwellenfunktionen, siehe Slater-Determinante), und nicht die Lösung für das schwach wechselwirkende System. Allerdings können wir im wechselwirkenden System Ähnlichkeiten zum nicht-wechselwirkenden System finden; die „Natur der Zustände“, die wir hier betrachten (keine Eigenzustände), wird durch das Einschalten einer schwachen Wechselwirkung nicht vollkommen zerstört. Das Einteilchen-Bild wird also durch die schwache Wechselwirkung nicht vollkommen zerstört. Um trotzdem den Unterschied zwischen wechselwirkendem und nicht-wechselwirkendem System zu betonen, spricht man von einer Fermiflüssigkeit und nicht mehr von einem Fermigas.
Durch die Wechselwirkung ändern sich Größen wie die Fermigeschwindigkeit, Zustandsdichte an der Fermikante und spezifische Wärme gegenüber den Ergebnissen, die das Fermigas für diese Größen liefert. Diese Unterschiede werden in einen phänomenologischen Parameter gebündelt, die effektive Masse. Aus diesem Grund ist die Fermi-Flüssigkeits-Theorie eine phänomenologische Theorie, die effektive Masse lässt sich innerhalb der Theorie nicht bestimmen.
Möchte man die Fermi-Flüssigkeit in einem eindimensionalen System beobachten, so scheitert man: In Raumdimension gibt es keine Fermi-Flüssigkeit, sondern eine sog. Luttinger-Flüssigkeit. Das liegt daran, dass hier dann ein Integral, das bei der Berechnung der Zerfallsrate mittels Fermis Goldener Regel auftauchte, divergiert und die Lebenszeit dann gegen null geht. Im Grunde liegt es daran, dass die Abschirmung durch umgebende Ladungen in höheren Raumdimensionen effektiver wird, schlicht weil im höheren Dimensionen mehr Teilchen zur Abschirmung bereitstehen. Dies zeigt sich in der Lindhard-Theorie durch ein Abfallen der durch eine Störladung induzierten Ladungsdichte mit einer Abstandsabhängigkeit von $1/r^{d}$ .
Charakteristisch für die Fermiflüssigkeit ist ein Sprung der Verteilungsfunktion an der Fermikante, der kleiner als 1 ist. Die Luttinger-Flüssigkeit hat hier gar keinen Sprung. Dieser Sprung bei der Fermiflüssigkeit ist nicht zu verwechseln mit dem Sprung der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion am absoluten Nullpunkt, wo die Verteilungsfunktion einfach einer Stufenfunktion entspricht, die bei Überschreiten der Fermienergie schlagartig von 1 auf 0 fällt. Die Verteilungsfunktion für die Fermiflüssigkeit fällt auch am absoluten Nullpunkt schon vor der Fermikante langsam ab und ist über der Fermikante noch nicht gleich null. Das spiegelt schlicht die Existenz der Quasiteilchen wider: Einige Elektronen befinden sich in Zuständen oberhalb der Fermikante, sodass auch bei die Besetzungswahrscheinlichkeit unterhalb der Fermikante kleiner als 1 und oberhalb der Fermikante größer als 0 ist. Entscheidend ist nun die Unstetigkeit an der Fermikante, deren Größe sich mittels der Methode der greenschen Funktionen berechnen lässt.

Konsequenzen

Da man es in Metallen bei Raumtemperatur mit einer thermischen Anregung von ca. 0,03 eV zu tun hat, welche klein gegen die Verteilungsbreite der kinetischen Energien der Valenzelektronen von ca. 1 eV ist, hat man es mit sehr langlebigen, aber vergleichbar wenigen Quasiteilchen in der Nähe der Fermienergie E_F zu tun. Die Elektronen-Elektronen-Wechselwirkung ist dadurch sehr gering und kann gegen andere Wechselwirkungen wie Elektronen-Streuung an Verunreinigungen und Kristall-Gitterschwingungen vernachlässigt werden. Weitere zusätzliche Niedrig-Energieanregungen wie das Anlegen kleiner elektrischer Felder zur Induktion eines elektrischen Stroms haben somit auch keinen signifikanten Einfluss. Damit kann das einfache Modell unabhängiger Teilchen auch für den Transport in Metallen problemlos beibehalten werden. Somit ist es aber lediglich durch Austausch der Masse möglich, vorhandene klassische Modelle für die Bewegung freier nicht-wechselwirkenden Elektronen wie die Boltzmann-Gleichung auf wechselwirkenden Elektronen zu erweitern.

Literatur

Gabriele Giuliani, Giovanni Vignale: Quantum theory of the electron liquid. Cambridge university press, 2005.
Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Jochen Gress: Festkörperphysik. Vol. 3. Oldenbourg, 2013.

Basierend auf einem Artikel in:

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