Betafunktion (Physik)

Die Betafunktion $\beta (\alpha )$ beschreibt in der Quantenfeldtheorie die Abhängigkeit einer Kopplungskonstanten $\alpha$ von der aus der Renormierung stammenden Energieskala $\mu$ . Es gilt die Definition

$\beta (\alpha ):=\mu {\frac {\partial \alpha }{\partial \mu }}$ .

Das Vorzeichen der Betafunktion ist von besonderer Bedeutung für die zur entsprechenden Kopplungskonstanten zugehörigen Wechselwirkung.

Beispiele

Quantenelektrodynamik

Die Betafunktion der Quantenelektrodynamik ist

$\beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}+{\mathcal {O}}(\alpha ^{3})~.$

Das positive Vorzeichen bedeutet, dass die Kopplung bei kleinen Skalen ebenfalls klein wird. Die elektromagnetische Wechselwirkung wird somit mit steigendem Abstand schwächer.

Quantenchromodynamik

Die Betafunktion der Quantenchromodynamik ist

$\beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {2}{3}}n_{f}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}+{\mathcal {O}}(\alpha _{s}^{3}),$

wobei $n_{f}$ die Anzahl an Quark-Flavours angibt. Für das Standardmodell der Elementarteilchenphysik gilt $n_{f}=6$ , dies führt zu einem negativen Vorzeichen. Das Abnehmen der Kopplungskonstante bei steigender Skala wird als asymptotische Freiheit bezeichnet.

Die Beiträge einschließlich der Ordnung ${\mathcal {O}}(\alpha _{s}^{5})$ sind bekannt

Literatur

Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Hrsg.: Perseus Books. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts 1997, ISBN 978-0-201-50397-5.

Basierend auf einem Artikel in:

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