Von-Neumann-Gleichung

Die Von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) stellt das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators {\hat  \rho } im Schrödinger-Bild:

{\frac  {\partial {\hat  \rho }}{\partial t}}=-{\frac  {i}{\hbar }}\left[{\hat  H},{\hat  \rho }\right]

{\hat {H}} ist dabei der Hamilton-Operator des Systems und [{\hat  H},{\hat  \rho }]={\hat  H}{\hat  \rho }-{\hat  \rho }{\hat  H} ist ein Kommutator. Der Dichteoperator ist IMG class="text" style="width: 20ex; height: 3.84ex; vertical-align: -1.33ex;" alt="{\hat {\rho }}=\sum {}\!_{{k}}\,p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \langle \psi _{{k}}|" src="/svg/2b3509f49de715920add4efc0f8e4d1be8a4fff4.svg">. Dabei bezeichnet p_{k} die Wahrscheinlichkeit, in einem Gemisch den reinen Zustand |\psi _{k}\rangle zu messen, falls die Zustände |\psi \rangle orthogonal sind. Die Spur eines Dichteoperators ergibt 1, da \operatorname {Tr}({\hat  \rho })=\sum {}\!_{{k}}\,p_{{k}}=1.

Diskussion

Die allgemeine Lösung der Von-Neumann-Gleichung ist, wobei der Zeitentwicklungsoperator {\hat  {U}}(t) und sein adjungierter Operator {\hat  {U}}^{{\dagger }}(t) verwendet werden:

{\hat  {\rho }}(t)={\hat  {U}}(t){\hat  {\rho }}(0){\hat  {U}}^{{\dagger }}(t)

Der Dichteoperator ist stationär {\tfrac  {\partial }{\partial t}}{\hat  {\rho }}=0, wenn dieser mit dem Hamiltonoperator vertauscht \left[{\hat  {H}},{\hat  {\rho }}\right]=0.

Mit Hilfe der Von-Neumann-Gleichung kann man zeigen, dass die Spur des quadratischen Dichteoperators zeitlich konstant ist:

{\mathrm  {Tr}}({\hat  {\rho }}^{{2}}(t))={\mathrm  {Tr}}({\hat  {\rho }}(t){\hat  {\rho }}(t))={\mathrm  {Tr}}({\hat  {U}}(t){\hat  {\rho }}(0)\underbrace {{\hat  {U}}^{{\dagger }}(t){\hat  {U}}(t)}_{{=1}}{\hat  {\rho }}(0){\hat  {U}}^{{\dagger }}(t))={\mathrm  {Tr}}(\underbrace {{\hat  {U}}^{{\dagger }}(t){\hat  {U}}(t)}_{{=1}}{\hat  {\rho }}(0){\hat  {\rho }}(0))={\mathrm  {Tr}}({\hat  {\rho }}^{{2}}(0))
\Rightarrow \ {\frac  {\partial }{\partial t}}\operatorname {Tr}\left({\hat  \rho }^{2}\right)=0

Hierbei wurde im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Wegen \operatorname {Tr}\left({\hat  \rho }^{2}\right)\leq 1 mit Gleichheit genau dann, wenn \rho einen reinen Zustand beschreibt, folgt daraus, dass reine Zustände rein bleiben und gemischte gemischt.

Erwartungswerte von Operatoren werden durch \langle {\hat  {A}}\rangle ={\mathrm  {Tr}}({\hat  {\rho }}{\hat  {A}}) ausgedrückt. Die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte

{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}t}}\langle {\hat  {A}}\rangle ={\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}t}}{\mathrm  {Tr}}({\hat  {\rho }}{\hat  {A}})={\mathrm  {Tr}}\left({\frac  {\partial {\hat  {\rho }}}{\partial t}}{\hat  {A}}+{\hat  {\rho }}{\frac  {\partial {\hat  {A}}}{\partial t}}\right)={\mathrm  {Tr}}\left(-{\frac  {i}{\hbar }}\left[{\hat  {H}},{\hat  {\rho }}\right]{\hat  {A}}+{\hat  {\rho }}{\frac  {\partial {\hat  {A}}}{\partial t}}\right)

ist im stationären Fall gleich:

{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}t}}\langle {\hat  {A}}\rangle ={\mathrm  {Tr}}\left({\hat  {\rho }}{\frac  {\partial {\hat  {A}}}{\partial t}}\right)=\left\langle {\frac  {\partial {\hat  {A}}}{\partial t}}\right\rangle

Der Erwartungswert einer Messung zeitunabhängiger Observablen {\tfrac  {\partial }{\partial t}}{\hat  {A}}=0 ist im stationären Fall zeitunabhängig {\tfrac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}t}}\langle {\hat  {A}}\rangle =0.

Herleitung

Die Von-Neumann-Gleichung lässt sich aus der Schrödingergleichung herleiten.

Man bildet die partielle Ableitung des statistischen Operators, wobei man die Produktregel berücksichtigt:

{\frac  {\partial }{\partial t}}{\hat  {\rho }}=\sum _{{k}}p_{{k}}\left({\frac  {\partial }{\partial t}}|\psi _{{k}}\rangle \right)\langle \psi _{{k}}|+\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \left({\frac  {\partial }{\partial t}}\langle \psi _{{k}}|\right)

Die Schrödingergleichung lautet für Hilbertraumvektoren (Ket)

i\hbar {\frac  {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle ={\hat  {H}}|\psi \rangle \quad \Rightarrow \quad {\frac  {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =-{\frac  {i}{\hbar }}{\hat  {H}}|\psi \rangle

und für duale Hilbertraumvektoren (Bra)

-i\hbar {\frac  {\partial }{\partial t}}\langle \psi |=\langle \psi |{\hat  {H}}\quad \Rightarrow \quad {\frac  {\partial }{\partial t}}\langle \psi |={\frac  {i}{\hbar }}\langle \psi |{\hat  {H}}

Dies setzt man oben ein:

{\frac  {\partial }{\partial t}}{\hat  {\rho }}=\sum _{{k}}p_{{k}}\left(-{\frac  {i}{\hbar }}{\hat  {H}}|\psi _{{k}}\rangle \right)\langle \psi _{{k}}|+\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \left({\frac  {i}{\hbar }}\langle \psi _{{k}}|{\hat  {H}}\right)

Vereinfachen liefert die Von-Neumann-Gleichung:

{\frac  {\partial }{\partial t}}{\hat  {\rho }}=-{\frac  {i}{\hbar }}\left({\hat  {H}}\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \langle \psi _{{k}}|-\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \langle \psi _{{k}}|{\hat  {H}}\right)=-{\frac  {i}{\hbar }}\left({\hat  {H}}{\hat  {\rho }}-{\hat  {\rho }}{\hat  {H}}\right)=-{\frac  {i}{\hbar }}\left[{\hat  {H}},{\hat  {\rho }}\right]
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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.01. 2019