Multivariate Verteilung

Eine multivariate Verteilung ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in der Statistik die Verteilung eines Zufallsvektors, also einer Zufallsvariablen, deren Werte Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ sind. Im zweidimensionalen Fall n=2 spricht man auch von einer bivariaten Verteilung. Die multivariate Verteilung eines Zufallsvektors $X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})$ ist somit ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb {R} ^{n}$ , das messbaren Teilmengen $A\subseteq \mathbb{R} ^{n}$ die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass einen Wert aus annimmt. Die Verteilungen der einzelnen Komponenten $X_{i}$ werden in diesem Zusammenhang die Randverteilungen von genannt. Beispiele für multivariate Verteilungen sind die Multinomialverteilung oder die multivariate Normalverteilung

Einführendes Beispiel

Wir betrachten zwei Zufallsexperimente:

Zweimaliges Würfeln mit einem idealen Würfel. Dies ist äquivalent zu einem Urnenexperiment mit sechs unterscheidbaren Kugeln, wobei zweimal mit Zurücklegen gezogen wird. Es gibt 36 mögliche Ergebnispaare (da wir die Reihenfolge des Würfeln bzw. der Ziehung berücksichtigen), und alle 36 Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich, haben also eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
Ein ähnliches Urnenexperiment, aber ohne Zurücklegen. In diesem Fall kommen die Ergebnisse (1,1),(2,2),…,(6,6) nicht vor, da die i-te Kugel beim zweiten Ziehen nicht vorkommen kann, wenn sie bereits bei der ersten Ziehung herausgenommen wurde. Die übrigen 30 Paare sind gleich wahrscheinlich und haben daher die Wahrscheinlichkeit 1/30.

Diese beiden Experimente ergeben nun zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen $Z_{1}$ und $Z_{2}$ , welche die gleichen Randverteilungen haben (jede Zahl von 1 bis 6 ist bei beiden Experimenten in beiden Ziehungen gleich wahrscheinlich und tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auf).

Jedoch sind die beiden Ziehungen im ersten Experiment unabhängig, da die gezogene Kugel zurückgelegt wird, während sie im zweiten Experiment nicht unabhängig sind. Das wird am deutlichsten, wenn man sich klarmacht, dass die Paare (1,1),(2,2),…,(6,6) bei einem unabhängigen Experiment jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/36 vorkommen müssen (Produkt der Randwahrscheinlichkeiten 1/6), sie aber beim zweiten Experiment überhaupt nicht auftreten können (Wahrscheinlichkeit 0 haben), da die Kugel nicht zurückgelegt wird.

Die Verteilungen von $Z_{1}$ und $Z_{2}$ sind daher verschieden; es handelt sich also um ein Beispiel zweier unterschiedlicher diskreter multivariater Verteilungen mit gleichen Randverteilungen.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion

10000 Stichproben einer mit der Clayton-Copula modellierten Verteilung (mit $\alpha =2.88$ ), bei der die Randverteilungen eindimensionale Standardnormalverteilungen sind.

Die Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Z=(X,Y) ist folgendermaßen definiert:

$F_{Z}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).$

Falls die betrachtete Zufallsvariable Z eine (zweidimensionale) Dichte $f_{{X,Y}}$ besitzt, dann ist die Verteilungsfunktion

$F_{Z}\left(x,y\right)=\int _{{-\infty }}^{{y}}\int _{{-\infty }}^{{x}}f_{{X,Y}}\left(u,v\right){\mathrm {d}}u\,{\mathrm {d}}v$ .

Wenn die Zufallsvariable diskret ist, dann kann man die gemeinsame Verteilung mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten so schreiben:

${\begin{aligned}{\mathrm {P}}(X=x\ {\mathrm {und}}\ Y=y)&{}={\mathrm {P}}(Y=y\mid X=x)\cdot {\mathrm {P}}(X=x)\\&{}={\mathrm {P}}(X=x\mid Y=y)\cdot {\mathrm {P}}(Y=y)\end{aligned}}$

und im stetigen Fall entsprechend

$f_{{X,Y}}(x,y)=f_{{Y|X}}(y|x)f_{X}(x)=f_{{X|Y}}(x|y)f_{Y}(y)\;$

Hier sind $f_{Y|X}(y|x)$ und $f_{X|Y}(x|y)$ die bedingten Dichten ( unter der Bedingung X=x , bzw. von unter der Bedingung Y=y ) und $f_{X}(x),f_{Y}(y)$ die Dichten der Randverteilungen von und .

In der Abbildung ist ein Beispiel für die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur mit Hilfe von Copulas gezeigt. Insbesondere ist das ein Beispiel dafür, dass eine bivariate Zufallsvariable mit normalen Randverteilungen nicht bivariat normalverteilt sein muss.

Der allgemeine mehrdimensionale Fall

Besitzt die n-dimensionale Zufallsvariable $Z=(X_{1},\dots ,X_{n})$ eine Dichte, dann ist die Verteilungsfunktion analog zum zweidimensionalen Fall

$F_{Z}\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=\int _{{-\infty }}^{{x_{n}}}\dots \int _{{-\infty }}^{{x_{1}}}f_{{X_{1},\dots ,X_{n}}}\left(u_{1},\dots ,u_{n}\right){\mathrm {d}}u_{1}\dots {\mathrm {d}}u_{n}$ .

Es gibt für Randverteilungen mehr Möglichkeiten als im zweidimensionalen Fall, da nun Randverteilungen für jede niedrigere Dimension $1\leq k<n$ existieren und man ${n \choose k}$ Möglichkeiten hat, den Unterraum auszuwählen. Beispielsweise gibt es im dreidimensionalen Fall 3 eindimensionale und 3 zweidimensionale Randverteilungen.

Gemeinsame Verteilung von unabhängigen Zufallsvariablen

Wenn für diskrete Zufallsvariablen $\ P(X=x\ {\mbox{und}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$ für alle x und y gilt, oder aber für stetige Zufallsvariablen $\ f_{{X,Y}}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$ für alle x und y, dann sind X und Y unabhängig.

Siehe auch

mehrdimensionale Normalverteilung
Hotelling t-Verteilung als multivariate t-Verteilung,
Wishart-Verteilung als multivariate Chi-Quadrat-Verteilung.
Multinomialverteilung
multivariate hypergeometrische Verteilung
Copula
Multivariate Verteilungsfunktion

Basierend auf einem Artikel in:

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