Householder-Verfahren

Die Householder-Verfahren sind eine Gruppe von numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer skalaren reellen Funktion. Sie sind nach Alston Scott Householder benannt.

Beschreibung des Verfahrens

Sei eine natürliche Zahl und $f\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine mindestens (d+1) -fach stetig differenzierbare Funktion, die im Intervall eine einfache Nullstelle besitze, d.h. $f'(a)\neq 0$ . Sei $x_{0}$ ein Startwert nahe genug an . Dann konvergiert die durch die Iteration

$x_{k+1}=x_{k}+d{\frac {(1/f)^{(d-1)}(x_{k})}{(1/f)^{(d)}(x_{k})}}\quad {\text{mit }}k=0,1,2,\dots$

erzeugte Folge $(x_k)_{k\in\N}$ sukzessiver Approximationen mit Konvergenzordnung d+1 gegen . Das heißt, es gibt eine Konstante K>0 mit

$|x_{{k+1}}-a|\leq K\cdot |x_{k}-a|^{{d+1}}$ .

Für d=1 ergibt sich das Newton-Verfahren, für d=2 das Halley-Verfahren.

Motivation

Hat eine einfache Nullstelle in , so gibt es eine -fach stetig differenzierbare Funktion mit $g(a)=f'(a)\neq 0$ und f(x)=g(x)(x-a) . Die reziproke Funktion ${\frac {1}{f}}$ hat einen Pol der Ordnung in . Liegt nahe , so wird die Taylorentwicklung von ${\frac {1}{f}}$ in von diesem Pol dominiert,

${\begin{aligned}(1/f)(x+h)&=\sum _{k=0}^{d}(1/f)^{(k)}(x){\frac {h^{k}}{k!}}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\\[1em]={\frac {1}{g(x+h)(x+h-a)}}&={\frac {1}{g(x+h)(a-x)}}\sum _{k=0}^{d}\left({\frac {h}{a-x}}\right)^{k}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\end{aligned}}$

Betrachtet man $g(x+h)$ als sich langsam ändernd bis nahezu konstant zu $f^{\prime }(a)$ , dann sind die Taylorkoeffizienten umgekehrt proportional zu den Potenzen von x-a , also

${\begin{aligned}&(1/f)^{{(k)}}(x)\approx {\frac {k!}{f'(a)\,(a-x)^{{k+1}}}}\\\implies &{\frac {(1/f)^{{(k-1)}}(x)}{(1/f)^{{(k)}}(x)}}\approx {\frac {a-x}{k}}\\\implies &a\approx x+k{\frac {(1/f)^{{(k-1)}}(x)}{(1/f)^{{(k)}}(x)}}\end{aligned}}$

für $k=1,\ldots ,d.$

Beispiel

Die von Newton zur Demonstration seines Verfahrens benutzte Polynomgleichung war $x^{3}-2x-5=0$ . In einem ersten Schritt wurde beobachtet, dass es eine Nullstelle nahe x=2 geben muss. Durch Einsetzen von $x=2+h$ erhält man erst

$f(2+h)=-1+10h+6h^{2}+h^{3}$

und anschließend durch Invertieren dieses Polynoms als Taylorreihe

${\begin{aligned}(1/f)(2+h)=&-1-10\,h-106\,h^{2}-1121\,h^{3}-11856\,h^{4}-125392\,h^{5}\\&-1326177\,h^{6}-14025978\,h^{7}-148342234\,h^{8}-1568904385\,h^{9}\\&-16593123232\,h^{10}+{\mathcal {O}}(h^{11})\end{aligned}}$

Das Ergebnis des ersten Schritts des Householder-Verfahrens einer gegebenen Ordnung erhält man auch, indem man den Koeffizienten des Grades durch seinen linken Nachbarn in dieser Entwicklung teilt. Dies ergibt folgende Näherungen aufsteigender Ordnung

d	x₁=2+
1	0,100000000000000000000000000000000
2	0,094339622641509433962264150943396
3	0,094558429973238180196253345227476
4	0,094551282051282051282051282051282
5	0,094551486538216154140615031261963
6	0,094551481438752142436492263099119
7	0,094551481543746895938379484125813
8	0,094551481542336756233561913325371
9	0,094551481542324837086869382419375
10	0,094551481542326678478801765822985

Es ergeben sich also in diesem Beispiel etwas mehr als gültige Dezimalstellen für den ersten Schritt im Verfahren der Ordnung

Basierend auf einem Artikel in:

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