Wirbelfreies Vektorfeld

Als wirbelfrei bzw. konservativ wird in der Physik und Potentialtheorie ein Vektorfeld ${\vec X}({\vec r})$ bezeichnet, in dem das Kurvenintegral

$\oint _{S}{\vec X}({\vec r})\cdot {\mathrm d}{\vec s}=0$

für beliebige in sich geschlossene Randkurven stets den Wert null liefert. Deutet man ${\vec X}({\vec r})$ als Kraftfeld, so ist das Kurvenintegral die gesamte längs der Randkurve gegen die Kraft ${\vec X}({\vec r})$ verrichtete Arbeit.

Wirbelfrei sind z.B. das ruhende elektrische Feld in der Elektrostatik und das Gravitationsfeld, aber auch Felder wie das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialströmung.

Eigenschaften

Ist ${\vec X}({\vec r})$ wirbelfrei, dann gilt:

$\mathrm {rot} \ {\vec {X}}({\vec {r}})={\vec {0}}$

d.h. die Rotation des Vektorfeldes ist gleich null (Namensgebung). Ist der Definitionsbereich einfach zusammenhängend, so gilt auch die Umkehrung.

Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich stets als Gradient eines zugrundeliegenden skalaren Felds $\Phi ({\vec r})$ formulieren (siehe Gradientenfeld):

${\vec X}({\vec r})={\mathrm {grad}}\ \Phi ({\vec r})={\vec \nabla }\,\Phi ({\vec r})$

Daraus folgt, dass für das skalare Feld $\Phi$ gilt:

$\mathrm {rot} \ (\mathrm {grad} \ \Phi ({\vec {r}}))={\vec {0}}$ .

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de