Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie kurz KO-Topologie ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich und topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge C(X,Y) aller stetigen Funktionen $X\to Y$ wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.

Definition

Seien und topologische Räume. Ist $K\subset X$ kompakt und $U\subset Y$ offen, so sei $\Omega (K,U):=\{f\in C(X,Y):\,f(K)\subset U\}$ .

Die Kompakt-Offen-Topologie auf C(X,Y) ist die von allen Mengen der Form $\Omega (K,U)$ , $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen $\Omega (K,U)$ .

Die Mengen $\Omega (K,U)$ , $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit abgekürzt (engl. compact-open), $C_{{co}}(X,Y)$ bezeichnet dann den Raum C(X,Y) , der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien und topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt $C_{{co}}(X,Y)$ demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede nicht-leere Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ hat man die Auswertungsabbildung $j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$ . Ist $\tau$ irgendeine Topologie auf , so dass $j_{H}$ stetig ist ( $H\times X$ trägt dabei die Produkttopologie aus $\tau$ und der auf gegebenen Topologie), so ist $co|_{H}\subset \tau$ , d.h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf ist gröber als $\tau$ . In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung $j_{H}$ stetig, wenn man mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist lokalkompakt und ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung $j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$ stetig macht.

Komposition

Seien und lokalkompakt, sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

$C_{{co}}(X,Y)\times C_{{co}}(Y,Z)\rightarrow C_{{co}}(X,Z),\,\,(f,g)\mapsto g\circ f$

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei lokalkompakt, uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf C(X,Y) mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt $p\in X$ . Mit $\pi _{1}(X,p)$ werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen $\pi _{n}(X,p)$ betrachte man den Raum $\Omega _{{X,p}}$ aller stetigen Abbildungen $g:([0,1]^{2},\partial [0,1]^{2})\to (X,p)$ des Einheitsquadrates $[0,1]^{2}$ nach , die den Rand $\partial [0,1]^{2}$ des Einheitsquadrates auf den Basispunkt abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus $\Omega _{{X,p}}$ , die das Einheitsquadrat auf den Punkt abbildet, mit ${\tilde {p}}$ und versieht man $\Omega _{{X,p}}$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von $C([0,1]^{2},X)$ , so ist das Paar $(\Omega _{{X,p}},{\tilde {p}})$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun $\pi _{2}(X,p):=\pi _{1}(\Omega _{{X,p}},{\tilde {p}})$ und allgemeiner rekursiv $\pi _{n}(X,p):=\pi _{{n-1}}(\Omega _{{X,p}},{\tilde {p}})$ für n>1 .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de